Como puedo expresar el siguiente problema como una ecuación diferencial?

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Quedaría mejor llamar a la función y(t) en lugar de x(t) porque el movimiento es el eje Y, quedará más claro y es lo que voy a hacer.

Dada la función de posición en el eje Y y(t) tenemos que la velocidad es la derivada de y respecto del tiempo

v(t) = y'(t)

y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo

a(t)= v'(t)

Luego la relación entre posición y acelaración es

y''(t) = a(t)

La aceleración es la provocada por la fuerza de la gravedad que en puntos próximos a la superficie terrestre se toma como constante y vale g=9.8 m/s^2  como está aceleración tiene dirección hacia abajo debe llevar el signo negativo

a=-9.8 m/s^2

Luego el problema es

y''(t) = -9,8

aunque se escribe simplificado

y'' = -9,8

Y al ser una ecuación de orden 2 se necesitan dos condiciones iniciales para despejar las dos constantes que saldrán en las integraciones.

De un lado conocemos la velocidad inicial, es decir y'(0)

y'(0) = 40

De otra parte sabemos el punto donde esta la pelota en el instante 0. Tomaremos altura 0 a ras de suelo, y tenemos que hacer la puñeta de transformar los pies en metros

1 pie = 0.3048 m

200 pies = 200 · 0.3048 = 60.96 m luego tomaremos

y(0) = 60.96

Luego resumiendo, el problema como ecuación diferncial es

y'' = -9.8

y'(0) = 40

y(0) = 60.96

Y la resolución es:

$$\begin{align}&y''=-9.8\\&\\&\int y''dt =\int-9.8 dt\\&\\&y' = -9.8t + C\\&\\&y'(0) = -9.8·0+C = 40\\&\\&C=40\\&\\&y'=-9.8t + 40\\&\\&\int y'dt = \int(-9.8t+40)dt\\&\\&y= -9.8·\frac {t^2}2+40t +C\\&\\&y(t) = -4.9t^2 +40t +C\\&\\&y(0) = -4.9·0^2+40·0+C = 60.96\\&\\&C= 60.96\\&\\&y(t) = -4.9t^2+40t+60.96\end{align}$$