Como se resuelve la integral por medio de trigonometría

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Alejandro!

·

La sustitución trigonométrica que hay que hacer es:

$$\begin{align}&\int \sqrt{m^2x^2+n^2}\;dx\\&\\&x=\frac{n}{m}tg \,t\\&\\&\\&\int\sqrt {9+16x^2}dx=\\&\\&x=\frac 34tg\,t\\&dx=\frac 34sec^2t\;dt\\&\\&\int \sqrt{9+16·\frac{9}{16}tg^2t}\;·\frac 34sec^2t \;dt=\\&\\&\frac 34\int \sqrt{9+9tg^2t}\;·sec^2t\; dt=\\&\\&\frac{9}{4}\int \sqrt{1+tg^2t}·sec^2t\;dt=\\&\\&\frac 94 \int sec^3t\; dt=\; ...\end{align}$$

Y la integral de sec^3(t) es una integral de aupa que si quieres te puedo decir que se resuelve con el cambio de variable

tg(t/2) = u.

Si acaso, cuando llegue la integral de secx la haré que es parecida y aprendes cómo se hace.

Pongo directamente el resultado de la integral (9/4)sec^3(t)

$$\begin{align}&\frac 94 \int sec^3t\; dt=\quad...\quad=\\&\\&\frac {9\,ln|sent+1|-9\,ln|sent-1|+18\,tg\,t·sec \,t}{16}+C\\&\\&\text{como }\\&\\&x=\frac 34tg\,t\implies tg\,t= \frac{4x}{3}\\&\\&tgt = \frac{sent}{\sqrt{1-sen^2t}}=\frac{4x}{3}\\&\\&\frac{sen^2t}{1-sen^2t}=\frac{16x^2}{9}\\&\\&sen^2t=\frac{16x^2}{9}-\frac{16x^2}{9}sen^2t\\&\\&\left(1+\frac {16x^2}{9}\right)sen^2t = \frac{16x^2}{9}\\&\\&(9+16x^2)sen^2t = 16x^2\\&\\&sen\,t= \frac {4x}{\sqrt{9+16x^2}}\\&\\&sec\,t=\frac{1}{\sqrt{1-sen^2t}}=\;...\;=\frac{3}{\sqrt{9+16x^2}}\\&\\&\text{y la integral será}\\&\\&\frac {9\,ln|sent+1|-9\,ln|sent-1|+18\,tg\,t·sec\, t}{16}+C=\\&\\&\frac {9\,ln\bigg| \frac {4x}{\sqrt{9+16x^2}}+1\bigg|-9\,ln\bigg| \frac {4x}{\sqrt{9+16x^2}}-1\bigg|+18 \frac{4x}{3}·\frac{\sqrt{9+16x^2}}{3}}{16}+C =...=\\&\\&\frac 9{16}ln\left(\frac{4x+\sqrt{9+16x^2}}{4x-\sqrt{9+16x^2}}  \right)+\frac{x \sqrt{9+16x^2}}{2}\\&\\&\end{align}$$

Y aquí lo dejo porque ya llevo varias horas con este ejercicio.

No sé como os pueden pedir cosas que son medio imposibles. Esa integral se resuelve cosiendo y cantando con una sustitución hiperbólica, pero con trigonométrica ya ves. Y sobre el método que han ejecutado con Wolfram Alpha hay que decir que Wolfram Alpha utiliza algoritmos que para nada se enseñan en los colegios o universidades.

$$\Begin{align}& \end{align}$$

Bueno, como te decía es un calvario resolverla por cambio de variable trigonométrico, pero si quieres una respuesta hecha a mano y buena con total seguridad la podemos hacer con un cambio de variable hiperbólico. En Wikipedia hay un fantástico artículo de las funciones hiperbólicas, que a veces cuando escriben el artículo los que más saben menos se entera la gente a no ser que sean ya doctores, sin embargo este articulo está muy bien y es completo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica

Yo usará la notación que aprendí:

Shx es el seno hiperbólico de x

Chx es el coseno hiperbólico de x

$$\begin{align}&\int \sqrt{9+16x^2}dx=\\&\\&x=\frac 34sh\,t\implies t=argsh\left(  \frac{4x}3\right)\\&dx=\frac 34 ch\,t\;dt\\&\\&\int \sqrt{9+16 ·\frac{9}{16}sh^2t}·\frac 34ch\,t \;dt=\\&\\&\frac 34\int \sqrt{9(1+sh^2t)}·ch\,t\;dt=\\&\\&\frac 94\int ch^2t \;dt=\\&\\&\text{calculamos ese valor aparte}\\&ch^2t=\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2=\frac{e^{2t}+e^{-2t}+2}{4}= \frac 12+\frac{ch(2t)}{2}\\&\\&=\frac 98\int(1+ch(2t))dt=\\&\\&\frac 98t+\frac {9}{16}sh(2t)+C=\\&\\&\frac 98argsh\left(  \frac{4x}3\right)+\frac 9{16}sh\left[ 2·argsh\left(  \frac{4x}3\right) \right]+C=\\&\\&\frac 98ln\left( \frac{4x}3+ \sqrt{\frac {16x^2}{9}+1} \right)+\\&\frac 9{16}·2·sh\left[argsh\left(  \frac{4x}3\right)\right]·ch\left[argsh\left(  \frac{4x}3\right)\right]+C=\\&\\&\frac{9}{8}\left[ln(4x+\sqrt{16x^2+9})-ln\,3  \right]+\frac{18}{16}·\frac{4x}{3}·\sqrt{1+\left(  \frac{4x}3\right) ^2}+C=\\&\\&\text{el (9/8)ln3 va al contenedor de las constantes}\\&\\&=\frac 98ln(4x+\sqrt{916x^2})+\frac 12x \sqrt{9+16x^2}+C\end{align}$$

Y con que supieras hacer esta integral los profesores se tendrían que dar por más que satisfechos, que de la forma que la pedían no la hacen ni ellos.