¿Como resolver las fracciones parciales por integral?
- Usar las fracciones parciales para encontrar la integral.
$$\begin{align}&∫2/(x^2-9) dx\\&∫(8x^2+4x-2)/(x^3+x^2 ) dx\end{align}$$
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Estas integrales ya llevan algo de trabajo, debes mandar un solo ejercicio en cada pregunta. Te constestaré el primero y si quieres el segundo mándalo en otra pregunta.
$$\begin{align}&\int \frac{2}{(x^2-9)} dx = \int \frac{2}{(x-3)(x+3)} dx=\\&\\&\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x+3}=\frac{a(x+3)+b(x-3)}{(x-3)(x+3)}\\&\\&\text{Ese polinomio del numerador debe ser}\\&\text{el mismo que el original}\\&\\&2=a(x+3)+a(x-3)\\&\\&\text{Tomando x=3}\\&2=6a\implies a=\frac 13\\&\\&\text{Tomando x=-3}\\&2=-6b\implies b=-\frac 13\\&\\&\text{retomando la integral}\\&=\frac 13\int \frac{dx}{x-3}-\frac 13\int \frac{dx}{x+3}=\\&\\&\frac{ln|x-3|-ln|x+3|}{3}+C\end{align}$$Y eso es todo.
Respuesta
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Te dejo la primera...
$$\begin{align}&\int \frac{2}{(x^2-9)} dx = \int \frac{2}{(x-3)(x+3)} dx =\\&\frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}=\frac{A(x+3)+B(x-3)}{ (x-3)(x+3)}=\frac{Ax+3A+Bx-3B}{ (x-3)(x+3)}\\&Agrupando\\&\frac{(A+B)x+3(A-B)}{ (x-3)(x+3)}\\&Como \ los\ denominadores\ son\ iguales,\ los\ numeradores\ también\ deben\ serlo, \ luego\\&A+B = 0\\&3(A-B) = 2\\&A = -B\\&3(A+A) = 2\\&3*2A = 2\\&A = 1/3 \land B = -1/3\\&Volviendo\\&\int \frac{2}{(x-3)(x+3)} dx = \int \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3} = \frac{1}{3(x-3)} - \frac{1}{3(x+3)}= \frac{1}{3} ln |x-3| - \frac{1}{3} ln |x+3| + C\\&\\&\\&\\&\end{align}$$