Apoyo con este Ejercicio de integrales

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Hagamos la gráfica para que quede claro cuál es la región R

Las fórmulas para el cálculo de un centro de masas en en un figura de dos dimensiones son:

$$\begin{align}&x_c=\frac{\iint_R xdm}{\iint_Rdm}\quad y_c=\frac{\iint_R ydm}{\iint_Rdm}\\&\\&\text {siendo }\rho(x,y)\text{ la función de densidad tenemos}\\&\\&dm =\rho(x,y)\,dy\,dx\\&\\&\text{y quedaría}\\&\\&x_c=\frac{\iint_R x\,\rho(x,y)\;dy\,dx}{\iint_R\rho(x,y)\;dy\,dx}\quad y_c=\frac{\iint_R y\rho(x,y)\;dy\,dx}{\iint_R\rho(x,y)\;dy\,dx}\\&\\&\text{como no nos dan función de densidad se supone }\\&\rho(x,y)=1\\&\\&x_c=\frac{\iint_R x\;dy\,dx}{\iint_Rdy\,dx}\quad y_c=\frac{\iint_R y\;dy\,dx}{\iint_R\;dy\,dx}\\&\\&\text{Las calculamos por separado}\\&\\&\iint_Rx\;dy\,dx=\int_0^2\int_0^{x^2}x\;dydx=\\&\\&\int_0^2x·y\bigg|_0^{x^2}dx=\int_0^2 x(x^2-0)dx=\\&\\&\int_0^2x^3 dx=\frac {x^4}4\bigg|_0^2=4\\&\\&----\\&\\&\iint_R dy\,dx=\int_0^2\int_0^{x^2}dy\,dx=\int_0^2y\bigg|_0^{x^2}dx=\\&\\&\int_0^2 x^2dx= \frac{x^3}{3}\bigg|_0^2=\frac 83\\&\\&----\\&\\&\iint_R y\;dy\,dx=\int_0^2\int_0^{x^2}y\;dy\,dx=\int_0^2 \frac {y^2}2\bigg|_0^{x^2}dx=\\&\\&\int_0^2 \frac{x^4}{2}dx=\frac{x^5}{10}\bigg|_0^2=\frac{32}{10}=\frac{16}5\\&\\&\text{y las coordenadas serán}\\&\\&x_c=\frac{4}{\frac 83}=\frac{12}{8}=\frac 32=1.5\\&\\&y_c=\frac{16}{5}\div \frac 83 = \frac{16·3}{8·5}=\frac {6}5=1.2\\&\\&\text{Luego el centroide es }(1.5,\;1.2)\\&\end{align}$$