Problema de integración por sustitución trigonométrica

Resolver PASO A PASO el siguiente ejercicio.

$$\begin{align}&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}\end{align}$$

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·

Esta integral por sustitución trigonométrica es un buen castigo.

En las integrales con

$$\begin{align}&\sqrt{m^2-n^2x^2}\\&\\&\text{el cambio}\\&\\& x=\frac mnsec\,t\\&\\&\text{hace saltar por los aires la raíz cuadrada}\\&\\&\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}=\\&\\&x=5\,sec\,t\\&dx=5\,sec\,t·tg\,t\;dt\\&\\&=\int \frac{5sec\,t·tg\,t}{\sqrt{25sec^2t-25}}dt=\\&\\&\int \frac{5sec\,t·tg\,t}{5 \sqrt{sec^2t-1}}dt=\\&\\&\int \frac{sec\,t·tg\,t}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}-1}}dt=\\&\\&\int \frac{sec\,t·tg\,t}{\sqrt{\frac{1-\cos^2t}{\cos^2t}}}dt=\\&\\&\int \frac{sect·tgt}{\frac{sent}{cost}}dt=\\&\\&\int \frac{sec\,t·tg\,t}{tg\, t}dt=\\&\\&\int sec\,t \;dt=\int \frac{1}{cost}dt=...\end{align}$$

Y lo que queda aun es largo.

¿Seguro qué es con cambio trigonométrico?

¿No será trigonométrico hiperbólico o hiperbólico a secas?

No es la primera vez que mandan esta integral, y nunca la he podido terminar por este método.

Por hiperbólico es casi inmediata ya que

$$\begin{align}&\frac{d}{dx}arg\,ch\;x= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\&\\&\int \frac {dx}{\sqrt{25-x^2}}=\int \frac 15 \frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac x5\right)^2}}=\\&\\&arg \,ch\left( \frac x5\right)+C=ln\left(\frac x5+\sqrt{\left( \frac x5\right)^2-1}\right)+C=\\&\\&ln\left(\frac {x+\sqrt{x^2-25}}{5}\right)+C=\\&\\&ln\left(x+\sqrt{x^2-25}\right)-ln\,5+C=\\&\\&ln\left(x+\sqrt{x^2-25}\right)+C\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si no entendiste algo mira en esta página

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica

Con la salvedad de que ellos llaman

Arg cosh(x)

O lo que yo llamo

arg ch x

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