Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo.

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Derivaremos la utilidad y la igualaremos a 0 para calcular el punto con el máximo.

$$\begin{align}&U(p)=400(15-p)(p-2)\\&\\&U'(p) = 400[-1(p-2)+(15-p)·1]\\&\\&U'(p) = 400(-p+2+15-p)\\&\\&U'(p) = 400(17-2p) =0 \implies\\&\\&17-2p=0\\&\\&2p=17\\&\\&p= \frac{17}{2}=8.5\end{align}$$

En ortodoxia un punto que anula la derivada primera o mismo puede ser un máximo que un mínimo. El ejercicio se supone que estará preparado para dar un máximo, pero por si acaso podemos comprobar que lo es con el criterio de la derivada segunda

U''(p) = 400(-2) = -800

como es negativa se tratade un máximo.

Y ya tenemos que la máxima utilidad se consigue con

p=8.5

la calcularemos en la fórmula de U

$$\begin{align}&U(8.5)=400(15-8.5)(8.5-2)=\\&\\&400·6.5·6.5= 16900 \;\text {cientos de pesos}\end{align}$$

La verdad es que la unidad cientos de pesos no es muy normal, la pasaremos a pesos

Utilidad máxima = $1.690.000

Los puntos son separadores de miles en este caso. Hablando de todo un poco de esto de los puntos y las comas, antiguamente se hubiera escrito asi en España.

$$\begin{align}&1_{_{_1}}190.000\end{align}$$

Muy explicativo pero confuso hoy día.

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Y eso es todo.

El máximo de una función se obtiene igualando la derivada a cero

Derivemos la función utilidad aplicando la regla del producto:

$$\begin{align}&U(p)=400(15-p)(p-2)\\&\\&U'(p)=400[-1·(p-2)+(15-p)·1]=\\&400(-2p+17)\\&\\&U'(p)=0\\&-2p+17=0\\&p=8.5\\&\\&U''(p)=-800p\\&U''(8.5)<0 \Rightarrow máximo\\&\\&U(8.5)=400(15-8.5)(8.5-2)=166,900\end{align}$$

Utilidad máxima 16,900 cientos de pesos

1690000 pesos