Calcular la derivada, los valores y los intervalos de la siguiente función , f(x)=(2x-1)^2 (9-x).
Primera parte:
Considera la función, . Determina lo siguiente:
a) La derivada de la función, lo más simplificada posible.
b) Los valores críticos de la función.
c) Si los valores críticos son máximos o mínimos.
d) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.
Segunda parte:
Usted ha determinado que el comportamiento de sus utilidades, en función del precio de su producto, está dado por la expresión, U(p) = 400(15 - p) (p - 2), donde la utilidad está dada en cientos de pesos y el precio está limitado por el intervalo
$$\begin{align}&5≤p≤15\end{align}$$Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo.
1 Respuesta
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Estos ejercicios de primera parte, segunda y hasta tercera parte habrá que mandar cada parte en una pregunta distinta. Hay algunas partes que son ejercicios que llevan mucho trabajo y lo que menos gusta después de solucionar una es tener que hacer otra o dos más.
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\\&f'(x) = 2·2(2x-1)(9-x)-(2x-1)^2\\&\\&f'(x)=(2x-1)(36-4x-2x+1)\\&\\&f'(x)=(2x-1)(37-6x)\end{align}$$Y esta es la forma más simplificada y mejor, porque lo siguiente que te van a pedir son los ceros de la derivada y fíjate que de esta forma ya los tienes medio resueltos
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b)
f'(x) = 0 ==> (2x-1) = 0 ó (37-6x)=0
Luego los ceros son
2x-1=0 ==> x= 1/2
37-6x=0 ==> x = 37/6
Esos son los puntos críticos.
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Retorno al punto a)
Pero si el profesor quiere que tenga forma de suma de monomios se hace y queda
y' = (2x-1)(37-6x) = 74x - 12x^2 - 37 +6x = -12x^2 + 80x - 37
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c)
Y esto sirve para hacer mejor la derivada segunda
y''=-24x + 80
Entonces para el punto x=1/2
y''(1/2) = -12 + 80 = 68 luego es un mínimo
y''(37/6) = -4·37 + 80 = -68 es un máximo
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d) Podríamos deducir que la función f(x) es un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente director (el de x^3) es negativo (no es necesario hacer todo el producto), con lo cual empieza valiendo infinito en el -infinito. De esta forma sabríamos que el primer intervalo (hasta la raíz menor) es decreciente, el segundo (entre las raíces) es creciente y el tercero (de la raíz mayor al infinito) es creciente.
Pero lo normal es que te hayan enseñado que se calcula el valor de la derivada primera en un punto de cada intervalo y el signo te indica si es creciente o decreciente
f'(x) = -12x^2 + 80x - 37
(-oo, 1/2) ==> f(0) = -37 ==> decreciente
(1/2, 37/6)==>f(1) = -12+80-37 = 31 ==> creciente
(37/6, oo) ==>f(10) = -1200 +800 -37 = -437 ==> decreciente
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Y eso es todo.
