Ecuaciones diferenciales y problema de valor inicial
demuestre que y=tanx satisface la E.D
$$\begin{align}&y'= 1+y^2\end{align}$$y la condicion y(0)=0, pero explique porque no es una solucion del problema de valor inicial en el intervalo (-2,2)
1 Respuesta
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La derivada de la tangente se expresa de dos formas, que se usa una u otra según los gustos o conveniencias.
$$\begin{align}&tg'(x) = 1+tg^2x\\&\\&tg'(x) = sec^2x\end{align}$$En este caso salta a la vista que conviene tomar la primera forma.
Si en
y' = 1 + y^2
sustituimos la y por tg(x) tenemos precisamente esa expresión de la derivada
tg'(x) = 1+ tg^2(x)
la cual es cierta, luego se cumple la ecuación diferencial.
Y la condición y(0) = 0 se cumple ya que tg(0)=0
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La función tangente no esta definida en los puntos -pi/2 y pi/2 que son
-1.570796... y 1.570796
ya que
tg(x) = sen(x)/cos(x)
tg(-pi/2) = -1/0 indefinido
tg(pi/2) = 1/0 indefinido
Luego hay dos puntos en el intervalo (-2,2) donde la función solución no está definida.
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Y eso es todo.
