Resolución de Problemas - Matriz Hessiana
A) El punto (0;0) es un máximo relativo.
B) El punto (0;0) es un mínimo relativo.
C) El punto (0;-1) es un máximo relativo.
D) El punto (-1;0) es un máximo relativo.
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Respuesta de Lucas m
1
$$\begin{align}&f_x=(e^x-e^y)+xe^x=e^x(x+1)-e^y\\&\\&f_y=-xe^y\\&\\&f_{xx}=e^x(x+1)+e^x=e^x(x+2)\\&\\&f_{yy}=-xe^y\\&\\&f_{xy}=f_{yx}=-e^y\end{align}$$Son puntos críticos si :
$$\begin{align}&f_x=0\\&f_y=0\end{align}$$El punto (0,0) lo cumple
C) Y D) No son puntos críticos
Hessiano de (0,0)
No es ni máximo ni mínimo: es un punto silla.
El hessiano ha de ser positivo para que haya un extremo relativo.
Una pregunta como derivas la función al inicio para que te salga el (e^x−e^y)+xe^x
Con la regla del producto:
f=x(e^x-e^y)
derivando respecto de x
$$\begin{align}&f=x(e^x-e^y)\\&\\&D(u·v)=u'v+uv'\\&u=x \Rightarrow u'=1\\&v=(e^x-e^y) \Rightarrow v'=e^x\\&\\&f_x=1(e^x-e^y)+xe^x\end{align}$$
¡Gracias!
Hola, pero si no es ni A ni B por ser punto de silla, como quedaría con los puntos de C y D
C y D simplemente no son extremos relativos, porque no cumplen las condiciones necesarias
$$\begin{align}&f_x=0\\&f_y=0\\&\\&Comprobación\\&f_x=e^x(x+1)-e^y\\&C=(0,-1)\\&f_x(C)=e^0(1)-e^{-1}=1-e^{-1} \neq0\\&\\&D=(-1,0)\\&f_x(D)=e^{-1}(-1+1)-e^0=-1 \neq0\end{align}$$
