Dudas con composición de funciones matemáticas

Hola valero ASM!
Por lo visto entonces tu profesión es matemático puro.
¿Dónde te preparaste en una universidad, instituto o en otro lugar? ¿Cómo son los centros de estudios allá en España?,
Te mando mis dudas:
Primera parte:
Si f y g son ambas funciones inyectivas, entonces la función fog también es inyectiva, y satisfacen la relación:
(fog) inversa=ginversa o finversa...i)
Sol)
Ya demostré fog efectivamente es inyectiva y también... i).
Veo que esto se generaliza para enésimos términos aplicando inducción matemática. Claro que me resulto más difícil demostrar... i).
(Mi duda es): Si una o ambas de las funciones f y g pueden no ser inyectivas y sin embargo puede existir la función inversa ¿verdad? Entonces no puedo emplear... i), debido a que esta no tiene sentido entonces ¿existe una manera de representar (fog)inversa en función de f y g?
Segunda parte:
Dadas las funciones f y g, se cumple que
a)Si h=fog entonces f(x)=((h)o (g inversa)) (x), pero solamente paa los x E Domf ^ Rangg, que en general es una parte de Domf.
Nota:Este teorema nos indica que al despejar una funcionf en una composición, en general de lo que se obtiene no es toda la función f sino solamente una parte, es decir una restricción de f.
Ej: Sean f(x)=x+2, x E [0,8] ; g(x)=x-1, x E [-5,5]; si h=fog entonces h(x)=x+1, x E [1,5]=Domh. Si quiseramos despejar f de esta ecuacion veamos lo que ocurriria:
h=fog entonces h o ginversa= f o g o ginversa=f entonces f= h o ginversa cuyo dominio es Dom h o ginversa, y probaremos que coincide con Domf ^Rang g mas no con Domf
¿Quisiera una demostración del enunciado de que al despejar f se obtiene un dominio que esta incluido en el Dom f?
Tercera parte:
Sea f(x)=ax^2 + bx + c, a diferente de cero
Si la función es univalente y continua tenemos los siguientes resultados válidos referidos a los dominio y a los rangos correspondientes.
Domf entonces Ranf
Intervalo<r,s> <f(r), f(s)> ó <f(s), f(r)> Dependiendo de cual extremo es mayor.
Procediendo de la misma manera para los intervalos[r,s>;<r,s] y [r,s]
Ej1)
Calculo el rango de f(x)=( x^2) -8x +4, x E <4,8]:
Sol)
Operando observas que se cumple Rang f=<f(4), f(8)] ¿es correcto?
También sirve para funciones más complejas:
Ej2)
Calcule el rango de f(x)= (2x-5)/ (x^2 + 2x-3) , x E [2,4>:
Sol)
Efectivamente se demustra que es inyectiva entonces Ranf=[f(2),f(4)>.
¿Quisiera conocer cual es la demostración de esta propiedad?
Un saludo.

1 respuesta

1
Respuesta de
¡Hola Fabián!
Si, estudié matemáticas en la universidad de Zaragoza. Dentro de las matemáticas había puras y aplicadas. Yo tonteé cogiendo asignaturas de un lado y otro. El centro bien una vez que se independizó y se hizo Facultad de Matemáticas con un edificio nuevo, antes era Facultad de Ciencias y era pequeño para Física, Química, Matemáticas y Geología.
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Primera parte
Si alguna no es inyectiva debes redefinir los dominios para que sean inyectivas y entonces la inversa de fog será como antes (inversa de g)o(inversa de f) en el dominio nuevo correspondiente.
Segunda parte.
Sea h=fog
Dom h = {x | x € Dom g; g(x) € Dom f}
Si componemos con inversa de g por la derecha
f = h o ginversa
Dom f = Dom (h o ginversa) = {x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom h} =
Sustituyendo Dom h por la expresión del conjunto calculada antes
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € {x | x € Dom g; g(x) € Dom f}} =
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom g; g(ginversa(x)) € Dom f} =
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom g; x € Dom f}
Y la tercera condición del conjunto nos dice que por € Dom f.
Tercera parte.
Si, univalente y continua equivale a estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
La función f(x)=( x^2) -8x +4, x € <4,8 es univalente porque el vértice está en x=4. Con un dominio todo a la izquierda o todo a la derecha es una función univalente.
Si, pues la demostración viene de la mano de que una función univalente y continua es estrictamente creciente o decreciente. Si en algún punto se hace constante ya deja de ser univalente por repetirse el valor. Y si cambia de creciente a decreciente o viceversa, como una función continua toma todos los valores entre dos extremos, repetirá valores anteriores al máximo o mínimo relativo con posterioridad y habrá dejado de ser univalente. Luego debe ser siempre estrictamente creciente o decreciente.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. Si tienes alguna duda pide más explicaciones.
Un saludo.
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