Criterio de la segunda derivada

Contestaré dos por pregunta. Si has visto mi perfil verás que insisto en el tema de un ejercicio por pregunta y no conozco experto que no esté de acuerdo conmigo en ello.

Así que deberás mandar los otros cuatro en dos preguntas distintas. Y si ya se complican te pediré un ejercicio por pregunta, bueno eso lo desearía siempre, aunque con lo sencillos puedo hacer alguna excepción.

Para que veas como se escriben las expresiones la haré sin editor.

a) f(x) = 8x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 6x - 3

f '(x) = 32x^3 + 6x^2 - 10x + 6

Seguramente habrá un error en el enunciado, ese polinomio no se puede factorizar sencillamente como cabía esperar, hay que usar ordenador o métodos de resolución númerica o la formula de tercer grado que a nadie le enseñan.

Mira a ver si esta bien. Y si tienes la respuesta dámela, no pasa nada por ello. Asi yo veo donde puede estar el problema.

Hola, yo entiendo que debo sacar hasta la segunda derivada de mi función:

Mi función es :

f(x) = 8x^4+2x^3-5x^2+6x-3, la primera derivada es:

f´(x) = 32x^3+6x^2-10x+6. la segunda derivada sería:

f´´(x) = 96x^2 + 12x - 10 y de mi segunda derivada debo saber cuáles son los extremos relativos y en realidad no sé. Hasta ahí llego. Ayúdeme.

Si, pero no. Una vez por calculada la derivada primera se debe igualar a cero y encontrar las soluciones. Y en la derivada segunda se sustituyen esas soluciones y si el resultado es positivo es un mínimo y si es negativo un máximo.

Vamos a hacer el primero aunque tiene un error sin ninguna duda

Ya habíamos calculado la derivada primera. La igualamos a cer para encontrar las raíces.

32x^3 + 6x^2 - 10x + 6 = 0

Como ya te dije no hay método asequible de calcular las raíces luego lo hago con el programa Máxima con la orden:

allroots(32*x^3+6*x^2-10*x+6);

y nos da

[x=0.34779343105715*%i+0.32271812898084,

x=0.32271812898084-0.34779343105715*%i,

x=-0.83293625796169]

Las dos primeras son complejas y n sirve para esto, solo sirve la tercera

Calculamos la derivada segunda

96x^2 + 12x - 10

y sustituimos la raíz encontrada

96(-0.832936)^2 + 12(-0.832936) - 10 = 46.607876

Como es positivo es un mínimo.

Luego la función tiene un mínimo en x=-0.83293625796169

----------------

b) f(x) sqrt(x^2 + 2)

f '(x) = x/sqrt(x^2+2) = 0

Esto se cumple para x=0

Aquí no s podemos ahorrar la derivada segunda si pensamos un poco. Para cualquier otro valor de x lo de dentro del radicando va a ser mayor, porque tanto sea positivo como negativo al elevarlo al cuadrado va a ser más grande. Y la raíz cuadrada también será mayor.

Luego el punto es un mínimo.

Ahora bien, si pe piden hacerlo con la derivad segunda lo hacemos.

$$\begin{align}&f´´(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}-x·\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=\\ &\\ &\frac{\frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+2)^3}}\\ &\\ &\text{y en x= 0 tenemos}\\ &\\ &f´´(0) =\frac{2}{\sqrt{2^3}}= \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2}\end{align}$$

Como es un valor positivo es un mínimo, lo que habíamos dicho antes.

Por tanto la función tiene un mínimo en x=0.

Y eso es todo.

Muchas gracias, como usted me lo pidió le envío otros 2, ok? Gracias.

c) f(x) = x / (x^4+3)
d) f(x) = In (x^2 / 1+x)