Calcular el beneficio máximo: funciones de costes y beneficios

Hola nuevamente Experto!!

Ahora sí que estoy perdida, esto me suena más a mates financieras que a otra cosa. El caso es que sé que hay que calcular el resultado, utilizando la autovalores, pero lo de la constante de proporcionalidad me despista. ¿Podrías ayudarme a resolver este ejercicio?

Cierta empresa fabrica dos productos, A y B, en cantidades x e y respectivamente; se

sabe que tiene como función de costes:

$$C(x,y)=2x^3+2y^3+1$$

y que sus ingresos son directamente proporcionales (con constante de proporcionalidad
6) al producto de las cantidades fabricadas de A y de B. Calcular el beneficio máximo y
qué cantidad de cada producto ha de fabricar para alcanzar dicho beneficio. (Nota:
Beneficio = Ingresos – Costes)
La función de beneficios será de la forma:

$$$$

A la espera de su respuesta,

Gracias nuevamente,

Un Saludo!!

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Respuesta de

Hola Icarly!

La frase:

y que sus ingresos son directamente proporcionales (con constante de proporcionalidad
6) al producto de las cantidades fabricadas de A y de B

significa

Ingresos(x,y) = 6xy

no puede significar otra cosa

Luego, cuando me pones la función de beneficios será de la forma, nol aparece nada, el editor se ha comido lo que hubieras puesto.

Beneficios(x,y) =2x^3 + 2y^3 + 1 - 6xy

Es una ecuación de dos incógnitas y el máximo se calcula con derivadas parciales y como mucho con los menores de la matriz Hessiana. El tema de los autovalores yo creo que toca de refilón. A lo mejor hay algún método basado en los autovalores, pero yo no lo conozco. Hace tiempo vi que los usaban de forma completamente innecesaria para resolver ecuaciones lineales en un video de You Tube, pero me parece que era un problema distinto y no recuerdo donde me apareció.

Si sabes algo del método de los autovalores dime cómo es. Y si no, te lo resuelvo por el método tradicional si quieres.

Ya me dirás.

Un saludo.

Creo que tiene que ver con el modelo insumo-producto o similar, es algo muy específico y nada sencillo para quien no haya estudiado Economía.

Bueno, me parece que ya lo tengo. Los autovalores simplemente se emplean para saber si la matriz Hessiana es definida negativa, porque entonces será un máximo.

Y una matriz ed definida negativa si todos sus autovalores son estrictamente negativos.

Luego el 90% del problema se resuelve como yo pensaba y solo al final se usan los autovalores.

Primero calculamos las derivadas parciales del beneficio y las igualamos a cero para obtener los puntos críticos.

Antes me equivoqué, la función de beneficio es justo lo contrario de lo que dije, esta es la verdadera:

B(x,y) = 6xy - 2x^3 - 2y^3 -1

Bx = 6y - 6x^2 = 0

By = 6x - 6y^2= 0

Despejamos y en la primera

y=x^2

y lo llevamos a la segunda

6x^4 - 6x = 0

x(6x^3-6)=0

La primera solución es x=0

La segunda viene de

6x^3-6 = 0

6x^3=6

x^3=1

x = 1

Y la segunda es x=1

como y=x^2 vale lo mismo que x

Luego los puntos críticos son

(0,0) y (1,1)

Calculamos el Hessiano

Bxx= -12x

Bxy=Byx=6

Byy= -12y

El Hessiano en (0,0) es

0  6
6  0
Lo valores propios vienen de la ecuación
|-t  6|
|     |=0
| 6 -t|
t^2-36=0
t^2=36
t= +- 6
No es máximo porque un valor propio es positivo
Probamos en (1,1)
|-12-t  6 |
|         | = 0
| 6  -12-t|
(-12-t)^2 - 36 = 0
144 + t^2 + 24t -36 = 0
t^2 + 24t + 108 = 0
t=[-24+-sqrt(576-432)]/2
t =(-24+-12)/2 = -6 y -18

Ambos autovalores son negativos, luego e Hessiano es definido negativo y el punto (1,1) es un máximo.

Y el beneficio máximo será:

B(1,1)=6·1·1 - 2·1^3 - 2·1^3 - 1 = 1

Olvídate del método insumo-producto que dije, simplemente estaba en el mismo sitio donde buscaba videos en Google, pero no tiene nada que ver con este problema.

No necesito más aclaraciones, lo he entendido a la perfección!! Y la función de beneficios es justo la que tú has puesto para resolver el ejercicio!! Muchísimas gracias por el gran esfuerzo que has realizado para ayudarme, la resolución ha sido de lo más detallada y completa.

Un cordial saludo

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