Ayuda con problema sobre limites
limit x->3 (x-3) cosec πx no se como resolver este por favor ayudame
2 Respuestas
¿Conoces la Regla de L'Hopital, para la indeterminación 0/0?
Yo lo resolvería utilizando la Regla de L'Hopital:
$$\begin{align}& \lim_{x \to\ 3} (x-3)cosec\pi x= \lim_{x \to\ 3} \frac{x-3}{sen\pi x}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\ &\\ &\lim_{x \to\ 3} \frac{1}{\pi cos3\pi }=\frac{1}{\pi \cos\pi}=-\frac{1}{\pi}\end{align}$$El angulo 3pi= pi 540º-360º=180º
El primer límite de la segunda línea, tendría que poner
$$\begin{align}&\lim_{x \to\ 3}\frac{1}{\pi \cos\pi x}\end{align}$$Ahora si
Creo que te has olvidado de valorar!
Excelente es lo correcto, y más cuando has tenido dos respuestas.
Es lo único que se pide en esta web.
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Hay un límite notable que suele usarse para resolver muchos limites trigonométricos y es este
$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{senx}{x}=1\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{x}{senx}=1\\ &\\ &\lim_{f(x)\to0}\frac{f(x)}{sen (f(x))}=1\end{align}$$Con esto y la fórmula
sen(a+b) = sena·cosb +cosa·senb
Se puede resolver aunque sea más difícil con la regla de l'Hôpital. Pero es que muchas veces piden calcular los límites sin usar esa regla, por eso te explico cómo se calcula.
$$\begin{align}&\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{sen\pi x}=\\ &\\ &\lim_{x\to 3}\frac{\pi(x-3)}{\pi sen\pi x}=\\ &\\ &\text {hacemos el cambio de variable }y=x-3\\ &x\to 3\implies y\to0\implies \pi y \to 0\\ &\\ &=\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi sen(\pi(y+3)}=\\ &\\ &\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi sen(\pi y+3\pi)}=\\ &\\ &\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi [sen(\pi y)\cos(3\pi)+\cos(\pi y)sen(3\pi)]}=\\ &\\ &\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi [sen(\pi y)(-1)+\cos(\pi y)·0]}=\\ &\\ &-\frac 1{\pi}·\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{sen \pi y }=-\frac 1{\pi}·1=-\frac{1}{\pi}\\ &\end{align}$$Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar.