Cómo convertir a función paramétrica a implícita con términos trigonométricos
¿Cómo la hago implícita?
¿Podrían explicarme por favor? Estoy desesperada :(
x=h + r cosθ
y=k + r senθ
1 respuesta
Rocío Miranda!
Tienes que despejar el parámetro o una misma función del parámetro en ambas ecuaciones y las igualas.
He dicho una misma función del parámetro porque a veces no es becesario despejar completamente, lleva más trabajo antes y también después de la igualación.
Entonces imagina que podamos despejar cosθ en las dos ecuaciones, es fácil. En la primera super fácil:
cosθ = (x-h) / r
Y enla segunda despejamos el seno y luego calculamos el coseno
senθ = (y-k) / r
y ahora calculamos el coseno
$$\begin{align}&\cos\theta = \sqrt{1-sen^2\theta}= \sqrt{1-\frac{(y-k)^2}{r^2}}=\\ &\\ &\frac{\sqrt{r^2-(y-k)^2}}{r}\\ &\\ &\text{ahora igualamos las dos versiones del coseno}\\ &\\ &\frac{x-h}{r}=\frac{\sqrt{r^2-(y-k)^2}}{r}\\ &\\ &x-h = \sqrt{r^2-(y-k)^2}\\ &\\ &\text{supogo que quieres algo más ... bonito}\\ &\\ &(x-h)^2 = r^2-(y-k)^2\\ &\\ &(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\end{align}$$Y esa es la ecuación implícita, corresponde a una circunferencia de centro (h.k) y radio r.
El coseno que calculaste:
¿lo sacaste por identidades trigonométricas, alguna fórmula o cómo?
¡Además de eso todo está excelente!
Pues si está excelente tienes que ponerle la puntuación excelente, que has puesto solo la buena.
Esa fórmula se deduce fácilmente de la identidad fundamental de la trigonometría
$$\begin{align}&sen^2\theta + \cos^2\theta = 1\\ &\\ &Luego\\ &\\ &\cos^2\theta = 1 - sen^2\theta\\ &\\ &\cos \theta = \sqrt{1-sen^2\theta}\end{align}$$Otra alternativa mejor es despejar cos^2(θ) en los dos sitios para no tener que hacer raíces cuadradas
$$\begin{align}&x=h + r \cos\theta \implies \cos \theta=\frac {x-h}{r}\implies \cos^2\theta=\frac{(x-h)^2}{r^2}\\ &\\ &y=k + r sen\theta \implies sen\theta = \frac{y-k}{r}\implies sen^2\theta = \frac{(y-k)^2}{r^2}\implies\\ &\\ &\cos^2\theta = 1-sen^2\theta = 1- \frac{(y-k)^2}{r^2}=\frac{r^2-(y-k)^2}{r^2}\\ &\\ &\\ &\text {igualamos}\\ &\\ &\frac{(x-h)^2}{r^2} = \frac{r^2-(y-k)^2}{r^2}\\ &\\ &(x-h)^2 = r^2-(y-k)^2\\ &\\ &(x-h)^2 +(y-k)^2=r^2\end{align}$$Y eso es todo.
