Demostración que es Lebesgue integrable
Considere la sucesión de funciones:
$$\begin{align}&{f_n }\end{align}$$$$\begin{align}&f_n (x)=\end{align}$$$$\begin{align}&1/√x,&xϵ (1/n,1], n≥2\end{align}$$Y:
$$\begin{align}&0,&xϵ [0,1/n]\end{align}$$Demuestre que es Lebesgue integrable y calcule la integral:
$$\begin{align}&∫_[0,1]〖f_n (dμ)〗\end{align}$$Tip: Recuerda los enunciados de los teoremas,
En especial el que compara la integral de Riemann y la integral de Lebesgue.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
Una función definida y acotada en un intervalo [a,b] es integrable Riemann si y solo si el conjunto de los puntos de discontinuidad tiene medida 0.
Aqui cada función fn solo tiene un punto de discontinuidad, el punto x=1/n luego es integrable Riemann y la integral es:
$$\begin{align}&\int_0^1f_n(x)dx = \int_0^{\frac 1n}0dx+\int_{\frac 1n}^1 \frac {dx}{\sqrt x}=\\ &\\ &0 + \sqrt x|_{1/n}^1= 1-\sqrt{\frac 1n}\end{align}$$Y cuando n tiende a infinito la integral tiende a 1
Y hay un teorema que dice que si existe la integral de Riemann entonces la función es integrable Lebesgue y los valores coinciden.
Y eso es todo.
