Resuelva la siguientel E.D.O.
AYÚDEME CON ESA MÁS POR FAVOR MUCHAS GRACIAS :) BUEN DÍA :)
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Hallaremos la transformada de Laplace en los dos lados de la ecuación diferencial. De acuerdo con las reglas de derivación y la tabla de transformadas tendremos
s·z - 1-3z = 4s/(s^2+4)^2
donde he llamado z = L{y}
(s-3)z = 1 - 4s/(s^2+4)^2
z = 1/(s-3) - 4s/[(s-3)(s^2+4)^2]
El primer sumando tiene una transformada inversa inmediata
L^-1{1/(s-3)} = e^(3t)
Mientras que el segundo es de los complicados.
$$\begin{align}&\frac {4s}{(s-3)(s^2+4)^2}=\frac{a}{s-3}+\frac{p(s)}{(s^2+4)^2}\\ & \\ & 4s= a(s^2+4)^2+(s-3)p(s)\\ & \\ & \text{Si hacemos s=3}\\ & 12 = a·13^2\implies a=\frac{12}{13^2}=-\frac {12}{169}\\ & \\ & p(s)=\frac{4s-\frac{12}{169}(s^2+4)^2}{s-3}=\frac{676s-12s^4-96s^2-192}{169(s-3)}\end{align}$$El numerador tiene que ser divisible entre (x-3) por obligación.
-12 0 -96 676 -192 3 -36 -108 -612 192 ------------------------------------ -12 -36 -204 64 | 0
Efectivamente, nos queda la expresión
$$\begin{align}&\frac{-12s^3 -36s^2 - 204s + 64}{169(s^2+4)}\end{align}$$Y queremos dividroi esta expresión en dos tal que la primera solo tenga el denominador s^2+4
Para ello haremos la división larga
-12s^3 - 36s^2 - 204s + 64 | s^2 + 4 +12s^3 48s ---------- ------ ---- -12s -36 0 36s^2 -156s +144 ----- --- 0 208
Con todo esto tenemos que la inversa de la transformada de y es
$$\begin{align}&y=e^{3t}+\mathscr L^{-1}\left\{ \frac{12}{169}·\frac{1}{s-3}-\frac{12}{169}·\frac{s}{s^2+4}-\frac{18}{169}·\frac{2}{s^2+4} \right\}+\\ & \mathscr L^{-1}\left\{ -\frac{39}{169}·\frac{4s}{(s^2+4)^2}+\frac{26}{169}·\frac{8}{(s^2+4)^2} \right\}=\\ & \\ & \\ & e^{3t}+\frac{12e^{3t}}{169}-\frac{12\,\cos 2t}{169}-\frac{18 \,sen\, 2t}{169}-\frac{39t\,sen\,2t}{169}+\\ & \mathscr L^{-1}\left\{\frac{26}{169}\left( \frac{4-s^2}{(4+s^2)^2}+\frac{4+s^2}{(4+s^2)^2}\right) \right\}=\\ & \\ & \\ & \frac{181e^{3t}-12cos 2t-18sen 2t-39tsen2t-26 t \cos 2t}{169}+\frac{13}{169}\mathscr L^{-1}\left\{\frac{2}{(s^2+4)} \right\}=\\ & \\ & \\ & \frac{181e^{3t}-12cos 2t-18sen 2t-39tsen2t-26 tcos 2t+13sen 2t}{169}=\\ & \\ & \\ & \frac{181e^{3t}-12cos 2t-5sen 2t-39tsen2t-26t \cos 2t}{169}\end{align}$$Espero entiendas todos los truquillos que he hecho y por qué los he hecho, no se pueden explicar, el ordenador se bloquea cuando se escribe mucho en el editor de fórmulas. No sé cómo te lo habrán enseñado a ti, yo es el primero que hago con raices complejas múltiples. Primero lo intenté con el método de Hermite para descomponer en fracciones simples, pero cuando después de todas las multiplicaciones de polinomios que hice vi las pedazo ecuaciones que salían desistí y lo he hecho por mi método.
Y he comprobado a mano y con ordenador que la solución es buena.
Y eso es todo.
