Resolver siguiendo el procedimiento de la pregunta anterior

Supongo que el procedimiento que quieres decir es el de fracciones simples (o parciales)

Esta vez ya nos dan el denomionador factorizado, sabemos que tiene una raíz real doble y dos complejas conjugadas. La descomposición es esta:

$$\begin{align}&\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2(x^2+1)}=\\ &\\ &\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{cx+d}{x^2+1}\\ &\\ &x^2-2x-1=a(x-1)(x^2+1)+b(x^2+1)+(cx+d)(x-1)^2\\ &Para\; x=1\\ &-2=2b \implies b=-1\\ &Para\; x=i\\ &-2-2i=(ic+d)(i-1)^2=(ic+d)(-2i)=2c-2id \implies\\ &c=-1,d=1\\ &Para\; x=0\\ &-1=-a-1+1\implies a=1\end{align}$$

Luego la integral es

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{x-1}-\int \frac{dx}{(x-1)^2}+ \int{\frac{-x+1}{x^2+1}}dx\\ &\\ &ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\int \frac{x\, dx}{x^2+1}+\int \frac{dx}{x^2+1}=\\ &\\ &ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\frac 12ln(x^2+1)+arctgx+C\end{align}$$

Y eso es todo.