Problema utilizando el proceso de Poisson

En una distribución de Poisson la media (o esperanza) es precisamente el parametro lambda, lo mismo que la varianza. No se si será necesario demostrar eso, seguramente lo tendrás en la treoría, si no me lo dices.

a) Luego la respuesta es inmediata, el valor esperado es Lambda

b) Es un problema de probabilidad condicional. Hay que calcular la probabilidad de 0 fallos en una Poisson de parámetro T+t dado que en una Poisson de parámetro T hubo 0 fallos

$$\begin{align}&P(A|B) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\\ &\\ &\frac{P(Poisson(T+t)=0\quad y\quad Poisson(T)=0)}{P(Poisson(T)=0)}=\\ &\\ &\frac{P(Poisson(T+t)=0)}{P(Poisson(T)=0)}=\\ &\\ &\text {se ven muy mal cuatro lineas de numerador}\\ &\text{denominador superpuestas, usaré otra notación}\\ &\\ &= \frac{e^{-T-tt}·(T+t)^0}{0!} \div \frac{e^{-T}·T^0}{0!}=\\ &\\ &=e^{-T-t}\div e^{-T}= \frac{e^{-T-t}}{e^{-T}}=e^{-t}\end{align}$$

Y eso es todo.