Realiza la siguiente demostración de esperanza condicional
Demuestra que si, (X e Y) son variables aleatorias independientes, entonces:
$$\begin{align}&E[X|Y]=E(X)\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
No me entra en la cabeza esto de la esperanza condicionada, necesitaría algunos estudios previos sobre espacios de probabilidad, sigma-álgebras y otras cosas que no tengo. Luego puede que lo que te conteste no esté bien.
Dado cualquier valor y del rango de Y tenemos.
$$\begin{align}&E(X|Y=y)=\int_{\Omega}x·f(x|y)dx=\\ &\\ &\int_{\Omega}x·\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx=\\ &\\ &\text {como son independientes se cumple }f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y)\\ &\\ &=\int_\Omega x \frac{f_X(x)·f_Y(y)}{f_Y(y)}dx=\\ &\\ &\int_{\Omega}x·f_X(x)dx =E(X)\end{align}$$Y el resultado es independiente de y, luego es constante.
E(X|Y) = E(X)
Y eso es todo.
