Convergencia de Integrales

Lugui Bogo!

Ya respondí la pregunta en otro lado.

Hagamos la integral definida.

$$\begin{align}&\int_0^{\infty}x·arctg(x) dx=\\ &\\ &\lim_{K\to\infty} \int_0^K x·arctg\,x\;dx=\\ &\\ &u=arctg\, x\quad du=\frac{dx}{1+x^2}\\ &\\ &dv=x \quad\quad v=\frac {x^2}2\\ & \\ &=\lim_{K\to\infty} \left(\left.\frac{x^2·arctg \,x}{2}\right|_0^K-\frac 12\int_0^K \frac{x^2dx}{1+x^2}\right)=\\ &\\ &\lim_{K\to\infty}\left(K^2·\frac{\pi}{2}-\frac 12\int_0^K\left(1 -\frac{1}{1+x^2}  \right)dx\right)\\ &\\ &\lim_{K\to\infty}\left(\frac{\pi K^2}{2}- \frac 12\left[x-arctg\,x  \right]_0^K\right)=\\ &\\ &\lim_{K\to \infty}\left(\frac{\pi K^2}{2}-\frac K2+arctg K\right)=\infty\end{align}$$

Es infinito porque el infinito de K^2 es mayor que el de K y el arcotangente solo vale pi/2

Y eso es todo.

¡Gracias!