¿Multa mal redactada? ¿Recurrirla o pagarla ya?

La multa no está mal redactada en cuanto que efectivamente permitías que el pasajero fuera sin casco. La responsabilidad es tuya y por ello te sancionan. Te recomendaría que pagaras máxime si por ello te aplican algún tipo de descuento.
Otro asunto a tratar es lo de los puntos. Para que el Ministrio Del Interior, Organismo único que puede quitarte puntos, efectivamente lo haga, el Ayuntamiento al que esta adscrito el agente sancionador debe tener firmado un Convenio que hasta la fecha tienen muy pocos Ayuntamientos. Por ello es fácil que no te llegue nada respecto del asunto de los puntos.
Matizando, mi consejo es:
Paga la multa porque si no te la cobrarán con recargos e intereses. Es muy poco probable que prospere un recurso.
Espera a ver si te llega alguna notificación del Ministerio Del Interior sobre quitarte puntos, y si es así recurrela, no ya la multa, si no el hecho de ver si el Ayuntamiento tiene sus deberes hechos y la rebaja de puntos se ajusta a derecho. Aquí ya no tendrás nada que perder por recurrir y si puntos que ganar.
Conduce con casco ;)

¿Gracias pero se puede recurrir después de pagar la multa?
esk habia leido la respuesta de esta pregunta:
Me pusieron una multa de tráfico por no llevar un casco homologado, puesto que llevaba un casco pero no cumplía con no sé que norma. En la multa, la policía ha hecho constar " No utilizar el casco en ciclomotor" Quiero recurrir la sanción, ¿qué puedo alegar?
Y la respuesta es esta:
El casco ha de ser homologado (ha de llevar una etiqueta con la leyenda "E9") y además ha de llevarse atado.
Si la denuncia consta que no llevabas casco, se aprecia un defecto de forma que debiera invalidar el procedimiento.
Eso es lo que puedes alegar: Un defecto de forma al no ajustarse el texto de la denuncia con la infracción cometida.
El texto correcto debiera haber sido "Conducir un ciclomotor sin llevar un casco homologado de protección".
que es parecido a mi caso ... ¿qué te parece?

Lo de pagar antes te lo atajan diciendo que el pago termina el expediente si después quieres recurrir, te obligarían a ir a un contencioso.
Lo del casco o puedes apelar diciendo que hay defecto de forma apelando a la honestidad del agente, si reconoce que hizo la multa mal te darán la razón. El problema es que la palabra del agente vale más que la tuya, si mantiene que ibas sin casco no te quedará más remedio que meterte en el contencioso.