Encuentre el área A de la región R que está limitada por la recta y = x y la parábola

Dadas dos funciones el área que encierran entre dos límites es la integral de la diferencia de las funciones. Lo único que hay que fijarse es cual se pone primera si queremos acertar con el signo o si hay sitios donde una es mayor que la otra y otras donde es al revés integrar entre los puntos de corte y sumar los resultados de que las integrales.

En este caso puedes hacer si quieres la gráfica, verás que hay dos puntos de corte y la función y=6-x^2 está siempre por encima de y=x en esa zona, luego se puede calcular el área de una sola vez.

Lo primero que vamos a hacer es ver donde se cortan porque esos serán los límites laterales de integración

x=6-x^2

x^2 + x - 6 = 0

x= [-1 +- sqrt(1+24)] / 2 = (1+-5)/2 = -2 y 3

Y lo que decía antes, por ser funciones continuas y tener solo dos cortes, entre esos hay una función que es siempre mayor que la otra, probamos en el punto 0 tenemos

y= 6-x^2 = 6-0^2 = 6

y= x = 0

La que esta por encima es y=6-x^2

$$\begin{align}&Area=\int_{-2}^3 (6-x^2-x) dx=\\ &\\ &\left[6x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^3=\\ &\\ &\\ &18-9-\frac 92-\left(-12+\frac 83-2\right)=\\ &\\ &-\frac 92-\frac 83+18-9+12+2=\\ &\\ &-\frac 92 - \frac 83 +23 =\\ & \\ &\frac{-27-16+138}{6}=\frac{95}{6} u^2\end{align}$$

Y eso es todo.