Ecuación con denominador

Bueno la idea de esto es no irse de una, por el desarrollo de las expresiones siempre analizar y ver que podemos eliminar.

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Primero desarrolle la fracción para tener una mejor visión del problema, luego me di cuenta que si desarrollaba el lado derecho de la expresión se me cancelaría con x(x-2) entonces los cancele y me quedo algo muy simple.

Luego lo desarrolle se me fue otro par de cosas y me quedo como resultado x=-1.

Ahora comprobare reemplazando el x=-1 en la igualdad.

$$\begin{align}&\frac{x}{x+\frac{x+1}{2x}}+x(x-2)=(x-1)^2\\ &\frac{(-1)}{(-1)+\frac{(-1)+1}{2(-1)}}+(-1)((-1)-2)=((-1)-1)^2\\ &\frac{-1}{-1+\frac{0}{2(-1)}}+(-1)(-3)=(-2)^2\\ &\frac{-1}{-1}+3=4\\ &1+3=4\\ &4=4\end{align}$$

Por lo tanto x=-1 es una solución de tu ecuación.