Calcular dominio de función

Este tipo de funciones de polinomio entres polinomio están definidas y son continuas en todos los puntos salvo en las raíces del denominador, vamos a calcularlas

Puedes resolver la ecuación de segundo grado

x^2 - 5x + 4 = 0

O puedes usar que el producto de las raíces es c y su suma -b Y se ve claramente que son 1 y 4 ya que

1·4 = 4

1+4 = 5

Pero cuando no te quedas convencido las compruebas

1-5+4=0

16-20+4=0

Luego la función esta definida en

Dom f = R - {1, 4}

Para los intervalos de crecimiento derivamos la función

$$\begin{align}&f´(x) = \frac{-5(x^2-5x+4)+5x(2x-5)}{(x^2-5x+4)^2}=\\ &\\ &\frac{-5x^2+25x-20+10x^2-25x}{(x^2-5x+4)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{5x^2-20}{(x^2-5x+4)^2}\end{align}$$

El denominador es siempre positivo, luego el signo solo depende del numerador.

5x^2-20

Las raíces son

5x^2 -20 = 0

5x^2 = 20

x^2 = 4

x = -2 y 2

En (-oo, -2) es positiva, por ejemplo 5(-3)^2 - 20 = 45-20 = 25

En (-2, 2) es negativa, por ejemplo en 0 tenemos -20

en (2, +oo) es positiva, en 3 será 5·3^2 - 20 = 45-20=25

Cuando la derivada es positiva la función crece y cuando es negativa decrece

f(x) es creciente en (-oo, -2) U (2, +oo)

y es decreciente en (-2, 2)

Los óptimos locales estarán en x=-2 y x=2

En x=-2 la función pasa de crecer a decrecer, luego es un máximo

En x=2 pasa de decrecer a crecer luego es un mínimo

Calculamos el valor de la función en esos puntos para tener las coordenadas de estos óptimos locales

f(-2) = 10/(4+ 10+4) = 10 / 18 = 5/9

f(2) = -10 / (4-10+4) -10/(-2) = 5

Luego el máximo local relativo es (-2, 5/9) y

El mínimo local relativo es (2,5)

Se da la paradoja de que el máximo es más pequeño que el mínimo, pero está bien porque son óptimos relativos.

Y eso es todo.