Posición relativa de dos rectas, y ecuación general con planos paralelos y que las contienen.

La intersección de las rectas será la solución de las cuatro ecuaciones

Tenemos dos bien claras que dicen x=0, y=0

Si sustituimos esos valores en las otras dos nos queda

3·0+z=3 ==> z=3

2·0-z=3 ==> -z=3 ==> z=-3

Z no puede tomar los dos valores a la vez, luego no hay solución y por lo tanto las rectas no se cortan.

El vector u del plano que contiene la recta r será una combinación lineal de los vectores de los dos planos que la determinan

u = a(1,0,0)+b(0,3,1) = (a, 3b, b)

Si dividimos por a queda (1, 3b/a, b/a)

Y llamando c = b/a tenemos el vector (1, 3c, c)

Y el vector v de la recta s es el producto vectorial de los vectores de los dos planos que la determinan

|i  j  k|
|2  0  1|=-i+2k = (-1, 0, 2)
|0  1  0|

Para que el plano sea paralelo a la recta los vectores directores del plano y la recta deben ser perpendiculares

(1, 3c, c)·(-1, 0, 2) = 0

-1+2c = 0

2c=1

c = 1/2

Luego el vector director sería

(1, 3/2, 1/2)

Que transformamos en

(2, 3, 2)

para que sea más cómodo de usar.

La ecuación del plano será

2x+3y+2z + D = 0

Para calcular D hallaremos un punto de la recta r

x= 0

3y+z=3

dando valor 0 a y tenemos z=3

Luego el punto es (0,0,3) y debe estar en el plano, luego

2·0+3·0+2·3+D=0

6+D = 0

D=-6

Y el plano es

2x+3y+2z - 6 = 0

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no entendiste algo pregúntalo. Y si ya está bien no olvides puntuar para tener derecho a futuras preguntas.