Determine si la integral diverge o converge

Estaba resolviendo la segunda que tenías en otra pregunta y ha desaparecido la pregunta cuando iba a enviarla. Si has retirado tu la pregunta piensa que puedes hacer que el trabajo que hace le experto sea en vano.

Contestaré aquí la que había resuelto. La otra mándala en una pregunta nueva por favor.

Resolvamos la integral

$$\begin{align}&\int_1^{\infty}\frac{dx}{x(1+\sqrt x)}=\\ &\\ &t=\sqrt x\quad\quad dt =\frac{dx}{2 \sqrt x}\implies \frac{dx}{x}=2dt\\ &\\ &x=1 \implies t=1\quad \quad x=\infty\implies t=\infty\\ &\\ &=\int_1^{\infty}\frac{2dt}{1+t}= 2\left[ln(1+t)\right]_1^{\infty}=\\ &\\ &\\ &2·[\lim_{t\to\infty}ln(1+t)+ln2]=2(\infty+2)=\infty\end{align}$$

Luego la integral no converge.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Mándame si quieres el ejerció primero en otra pregunta.