Antiderivada

2 sen(x) cos (x)
La integral indefinida es el límite de una suma infinita y se demuestra que es igual a la antiderivada, también llamada primitiva. Es
Decir la derivada de la primitiva es la función original.
Por eso en lugar de decir antiderivada normalmente se dice integral ya que dan lo mismo.
Como la integral es el límite de una suma de infinitos términos se representa con una ES alargada de suma: es el símbolo
Integral. Como aquí no tenemosla posibilidad de escribirlo usaré la palabra Integral. Entonces nuestro problema es calcular:
Integral 2 sen(x) cos (x) dx
El ultimo símbolo dx se lee diferencial de x y es la variable con drespecto a la cual se integra la función o derivaría la
Primitiva.
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c)
La fórmula del seno del duplo de un ángulo es
sen(2x) = 2 sen(x) . con(x)
La derivada del coseno es menos el seno
D cos(x)=-sen(x)
La derivada del menos el coseno es el seno
D -cos(x)=sen(x)
La derivada de menos el coseno de 2x es por la regla de la cadena, dos por el seno de 2x
D-cos(2x)= 2 sen (2x)
La derivada de -1/2cos (2x)=sen(2x)
Bueno ya obtuvimos nuestra función, entonces de acuerdo a esto es:
Integral sen(2x)=-1/2 cos(2x)
a) Con el reemplazo u=sen x
Bueno ahora ya tenemos que usar la tecnica de cambio de variables
Esta técnica se basa en la regla de la cadena. Lo fundamental es que el diderencial de una variable es igual al diferencial de otra varaible por la derivada de una con respecto a la otra
Es decir du= u` dx donde u`es la derivada de u con respecto a x. Esto es evidente si escribimos la derivada en notaciòn diferencial u`=du/dx => du=u.dx
Volviendo a nuesto ejemplo si u=sen(x) entonces u`=cos(x) du=cos(x)dx
Integral 2 sen(x) . cos(x) dx = 2 Integral sen(x) . cos(x) dx
Podemos reeplazar sen(x) por u y reeplazar cos(x) dx por du y nos queda
2 Integral u du = 2 .1/2 u^2=u^2
y reeplazando u por su valor nos queda
Integral 2 sen(x) . cos(x) dx=(sen x)^2 = sen^2(x)
b) Análogamente podemos considerar
Integral 2 sen(x) . cos(x) dx
con v=cos (x) y entonces v`=-sen(x) y en consecuencia du=-sen(x)dx
Entonces es
Integral 2 sen(x) . cos(x) dx=2 Integral con(x) sen(x) dx=
2 Integral v (-dv)=-2 .1/2 v^2=-v^2=-cos^2(x)
d) La aparente diferencia entre los resultados en a b y c no es tal ya que la funciones cos(2x), sen^2(x) y -cos^2(x) tiene la misma forma . Nos son iguales pero difieran en una constante. En realidad a cada antiderivada, o a cada integral indefinida se le puede sumar o restar una constante arbitraria y sigue siendo solución. Para las funciones halladas es
-cos^2(x) =sen^2(x)-1 (por la relación pitagórica)
y tambien
-1/2 cos(2x)=-1/2 [cos^2(x)-sen^2(x)]=-1/2 [1-sen^2(x)-sen^2(x)]=
-1/2 [1-2sen^2(x)]=sen^2(x)-1/2
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No cierres la pregunta que luego sigo con el 2 y el 3

2.- Antiderivada 2r / (1- r)^7 dr
u = 1-r , r=1-u , -du=dx
-2r (1 - r)^-7 du
-2(1-u) u^-7 du
-2 u^(-7) +2u^-6 du
-2/6 u^-6 + 2/5 u^-5
el resultado queda
2/5 u ^-5 - 1/3 u ^-6 + c
Que es el mismo resultado de tu solución
( Fíjate que tu solución tiene dos errores que se compensan
Si u=1-r el dx y el du tienen distinto signo
la integral de u^-6 es 1/(-5) u^-(5)
la integral de u^-7 es 1/(-6) u^-(6)
Finalmente el signo queda igual)
No cierres la pregunta que luego sigo con el 3