La ecuación es de la forma
Mdx + Ndy = 0
Las parciales son estas
My = 4xy - 2x/y^3
Nx = 8xy
Tenemos
Nx - My = 8xy - 4xy + 2x/y^3 = 4xy + 2x/y^3 =
y dividiendo entre M tenemos
(Nx-My)/M = (4xy + 2x/y^3) / (2xy^2 + x/y^2) = 2/y
que solo depende de y.
Y de acuerdo con la teoría el factor integrante es e elevado a la integral de (Nx-My)/m respecto de y.
u(x,y) = e^[int (2/y)dy] = e^(2·lny) = e^[ln(y^2)] = y^2
Multiplicamos por el factor integrante.
(2xy^4+x)dx + 4x^2y^3 dy = 0
comprobamos que ahora es diferencial exacta
My = 8xy^3
Nx = 8xy^3
Y la resolvemos por el método habitual
La respuesta será
U(x,y) = C
U se obtiene integrando M respecto de x, poniendo una función de y como constante de integración
U(x,y) = x^2·y^4 + (x^2)/2 + f(y)
La derivada respecto de U(x,y) respecto de y es N
4x^2·y^3 + f '(y) = 4x^2·y^3
f'(y) = 0
f(y) = C1
luego el valor definitivo de U(x,y) y la respuesta es
x^2·y^4 + (x^2)/2 + C1 = C
las dos constantes se unen en una
x^2·y^4 + (x^2)/2 = C
despejemos la y
x^2·y^4 = C - (x^2)/2
y^4 = C/x^2 - 1/2
y = (C/x^2 - 1/2)^(1/4)
Y eso es todo.