Demostración matriz simétrica si y sólo si:
Hola! Espero me puedan ayudar con esto:
Demuestra que una matriz A de n x n es simétrica, i.e A^T=A,
si y sólo si Ax * y = x * Ay
para cualesquiera dos vectores x e y en R^n.
Gracias
1 Respuesta
No quiero decir que sepa resolver la pregunta, pero esas operaciones no están bien definidas. Las dimensiones son estas
Anxn
Xnx1
Ynx1
Con lo que los resultados son estos
AX es nx1
Entonces no se puede multiplicar AX por Y, hay que ue transponer AX o transponer Y y según lo que se haga nos dará un número real o una matriz nxn, asi que habría que explicar que transposición hacemos
Lo mismo sucede en el segundo miembro
X es nx1 y AY es nX1, alguno hay que transponer para poder multiplicar.
Pues sí, creo que tienes razón. El maestro solo nos lo dio asi. Asi que le preguntaré.
Hola! El maestro dijo que era con el producto interno habitual en R^n.
! Ah, bueno!
Yo pensaba que eran productos de matrices. De todas formas es lo mismo hacerlo con matrices si se define así
(Ax)'y = x'Ay
donde la prima significa transpuesto
PRIMERA PARTE (==>)
En ambos lados sale una suma de nxn términos en que los sumandos son los elementos de la matriz multiplicados por una componente de x y otra de y.
Cada uno de ellos es:
$$\begin{align}&Izda = a_{jk}·x_k·y_j\\ &Dcha = a_{jk}·x_j·y_k\end{align}$$Si la matriz es simétrica tendremos
$$a_{jk} =a_{kj}$$Y el sumando jk de la izquierda será exactamente igual al kj de de la derecha, habrá los mismos sumandos y su suma será igual.
SEGUNDA PARTE (<==)
Si se cumple para todos los vectores también se cumplirá para los vectores que tienen una componente 1 y todas las demás cero
Para cada elemento aij de la matriz vamos a tomar como x el vector qe tiene todo ceros salvo un 1 en la componente i-esima y como vector y el que tiene todo ceros salvo un 1 en la componente j-esima
El único sumando que no será nulo es aquel correspondiente al producto de las componentes con valor 1
Esto esto la parte izquierda dará como resultado el elemento de la matriz
Aji
Y en la derecha será:
Aij
Luego aji = aij y esto para todo i,j=1,..,n, luego la matriz es simétrica.
No he podido usar el editor porque se ha estropeado ahora, pero entiendes que aij es a sub ij
Y eso es todo.
