Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por na recta

Conociendo dos puntos podemos trazar la mediatriz y donde sea la intersección de esta con la recta que nos dicen ahi estará el centro.

La ecuación de la mediatriz se calcula porque la distancia a los dos puntos es igual.

$$\begin{align}&(x-0)^2+(y-0)^2=(x-0)^2+(y-4)^2\\ &\\ &x^2+y^2 = x^2+ y^2 - 8y + 16\\ &\\ &8y-16=0\\ &\\ &y= 2\\ &\\ &\text{Y la intersección con la recta x-2y+2=0 es}\\ &\\ &x-4+2=0\\ &x-2=0\\ &x=2\\ &\text{Luego el centro es (2,2)}\\ &\\ &\text{Y el radio es la distancia a (0,0) por ejemplo}\\ &\\ &r= \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt 8\\ &\\ &\text{La ecuación es:}\\ &\\ &(x-2)^2+(y-2)^2 = 8\\ &\\ &\text{o de otra forma}\\ &\\ &x^2-4x+4 +y^2-4y+4 -8 = 0\\ &\\ &x^2+y^2-4x -4y = 0\end{align}$$

Y eso es todo.