Resuelve el problema utilizando la razón de cambio y tangente a una curva
Hallar la ecuación de la recta tangente a la función
$$xy^2-4x^3y+x/y+2=0$$
en el punto (1,1)
1 Respuesta
Para calcular la recta tangente necesitamos el punto de contacto y un vector de esa recta tangente. Lo mismo que el vector nos sirve con conocer la tangente del ángulo forma la recta tangente con el semieje OX+. Esto segundo es el valor de la derivada en ese punto, vamos a calcularlo.
No parece posible o fácil despejar cualquiera de las variables, usaremos derivación implícita. Derivaremos respecto a x, pero teniendo en cuenta que y es una función de x cuya derivada es y'
xy^2 + 4x^3y + x/y + 2 = 0
derivando
$$y^2 + x·2yy' +12x^2·y+ 4x^3·y' + \frac{y-xy'}{y^2} = 0$$Espera, mando la respuesta ya porque sé que antiguamente había problemas con las comillas de la derivada el Látex. Voy a ver si siguen existiendo antes de hacer todas las operaciones.
Sigue esperando.
Parece que ya no los hay.
Ahora despejaremos y' en ess expresión
$$\begin{align}&y^2 + 2xyy' +12x^2y+ 4x^3y' + \frac{y-xy'}{y^2} = 0\\ &\\ &\\ &y'\left(2xy+4x^3-\frac{x}{y^2}\right)=-y^2-12x^2y-y\\ &\\ &\\ &y'\left(\frac{2xy^3+4x^3y^2-x}{y^2}\right)=-(y^2+12x^2y+y)\\ &\\ &y'=-\frac{y^3(y+12x^2+1)}{2xy^3+4x^3y^2-x}\\ &\\ &\text{Y la derivada en el punto (1,1) es}\\ &\\ &y'= -\frac{14}{5}\\ &\\ &\text{La recta tangente en un punto }(x_0,y_0)\\ &\\ &y=y_0+f'(x0)(x-x_0)\\ &\\ &y = 1-\frac{14}{5}(x-1)\\ &\\ &y =-\frac{14}{5}x+\frac{19}{5}\end{align}$$ 
Da gusto hacer la gráfica y ver que ha salido bien.
Y eso es todo.
