Parametrización de Superficies

Buenos días,

Soy un estudiante que no entiendo al profesor. Quería tener un problema ejemplo (de los que se supone que el profesor explica en clase) resuelto para yo poder intentar realizar alguno después. El enunciado es el siguiente:

Dar una parametrización de la superficie X2 + 2Y2 – Z2 = 1 y esbozar un dibujo de la misma. Calcular el vector normal en cada punto y el plano tangente.

Aclaración:

X2 (x cuadrado)

2Y2 (2 Y cuadrado)

Z2 (Z cuadrado)

1 respuesta

1
Respuesta de

¡Hola Jesus201936!

Yo no tengo ningún libro que trate sobre la parametrización de curvas y superficies. Cuando no se puede despejar alguna variable la parametrización o debe ser un arte o se deben usar técnicas que no conozco.

Pero hay algunas que se pueden deducir con un poco de observación.

La ecuación es

X^2 + 2Y^2 – Z^2 = 1

Si cortamos con un plano horizontal z = k tendremos

x^2 + 2y^2 = 1+k^2

Esto es una elipse cuyo semieje X al cuadrado es el doble que su semieje Y al cuadrado

Una buena parametrización para una elipse de ese tipo será:

x = a·cost

y = [a/sqrt(2)]sent

donde sqrt significa raíz cuadrada. Entonces

z^2 = x^2 + 2y^2 -1

z^2 = a^2cos^2(t) + 2[(a^2)/2]sent -1 =

a^2·cost + a^2·sent -1 = a^2 -1

luego

z = +-sqrt(a^2-1)

Y por tanto la superficie parametrizada por a y t es

S: (a·cost, [a/sqrt(2)]sent, +-sqrt(a^2-1)

La figura es simétrica respecto del plano z=0 si solo tomáramos el valor positivo de z o solo el negativo tendríamos la mitad de la superficie.

Sobre el esbozo ya te dije como era el corte con planos horizontales. Y con verticales con x= k o y = k te van a quedar hipérbolas. La figura es parecida a un cono completo pero en vez de unirse por un vértice hay un hueco en el centro.

El plano tangente estará determinado por los vectores de las derivadas parciales

Sa = (cost, sent/sqrt(2), a/sqrt(a^2-1))

St = (-a·sent, [a/sqrt(2)]cost, 0)

El vector normal se obtiene del producto vectorial

-[a^2/sqrt(2a^2-2)]i - [a^2·sent/sqrt(a^2-1)]j + a·sqrt(2)k

Y el plano tangente se calcula como el que tiene ese vector director y pasa por el punto donde lo estamos calculando. Se está complicando mucho el poder escribirlo aquí de forma que se entienda, mejor si intentas calcularlo tú.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Desde que estudié hace muchos años no he vuelto a tocar esta rama de la geometría analítica, por eso tampoco puedo hacer mucho más de lo que he hecho. Si ya lo entendiste no olvides puntuar.

Un saludo.

Añade un comentario a esta respuesta
Añade tu respuesta
Haz clic para o
Escribe tu mensaje
¿No es la respuesta que estabas buscando? Puedes explorar otras preguntas del tema Matemáticas o hacer tu propia pregunta: