Geoemtria vectorial y analítica
1. Encuentre la ecuación de dos rectas en el espacio que se intersecten en un único punto
2.Dadas dos rectas paralelas encuentre un plano paralelo a las dos rectas pero que no las
contenga.
3.Encuentre la ecuación de un plano paralelo al plano 3X+2Y-3Z=8 y no coincidente con este
1 Respuesta
1) Tomamos un punto cualquiera (1,2,3) por ejemplo
Y tomamos dos vectores no paralelos
(1, 0, 1)
(1, 1, 2)
Y con ese punto y cada vector tenemos dos rectas que se cortan en el
La primera
x = 1 + t
y = 2
z = 3 + t
La segunda
x =1 + s
t = 2 + s
z= 3 + 2s
Y se puede comprobar que solo se cortan en este punto. Como deben tener las mismas coordenadas
1+t = 1+s ==> t=s
2 = 2 + s ==> s = 0 ==> t = 0
Aunque ya hemos calculado t y s hay que comprobar que se cumple la tercera, ya que si no no se cortarían
3+t = 3+2s
3+0 = 3 + 2·0
3=3
se cumple.
Luego solo se cortan para t=s=0 que nos da el punto (1,2,3)
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Dos rectas paralelas pueden ser
x = t
y = -t
z= 2t
y la otra
x = 1 + t
y = 1 - t
z = 1+ 2t
Y el plano paralelo que no las contiene puede ser
x + y + 3 = 0
Son paralelas porque ambas tienen en vector (1, -1, 2)
El plano es paralelo porque su vector director es (1, 1, 0) que es perpendicular a (1,-1,2) ya que el producto escalar es:
(1,1,0)·((1,-1,2) = 1·1 - 1·1 + 0·2 = 0
Y no las contiene porque sustituyendo las coordenadas de la recta en el plano tenemos
t - t + 3 = 0
3 = 0
absurdo.
1+t + 1-t + 3 = 0
5 = 0
Absurdo.
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Para que sea paralelo debe tener el mismo vector director, podemos poner los mismos coeficientes de x, y, z u otros proporcionales, pondremos los mismos. Y basta con poner distinto el término libre para que no sea coincidente. Luego este puede servirnos:
3x + 2y - 3z = 4
Y eso es todo.
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