Derivada de funciones trascendentes

$$\begin{align}&f(x) = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\\ &\\ &\\ &f'(x)= \frac 1{2 \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}}·\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac 1{2 \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}}\frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac 1{2 \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}}\frac{2x·2}{(x^2+1)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac 1{\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}}\frac{2x}{(x^2+1)^2}=\\ &\\ &\frac{2x}{\sqrt{x^2-1} \sqrt{(x^2+1)^3}}=\\ &\\ &\frac{2x}{\sqrt{(x^2-1)(x^2+1)^3}}=\\ &\\ &\\ &\text{y si se quiere hacemos el producto notable}\\ &\\ &\frac{2x}{\sqrt{(x^4-1)(x^2+1)^2}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Más operaciones ya no se hacen, si te las pide el profesor es porque tiene ganas de fastidiar.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Por cierto, esa función no es trascendente es algebraica. Las transcendentes son los logaritmos, exponenciales del tipo e^x y las trigonométricas.