Analice las convergencia de las siguientes sucesión

No tengo clara la expresión:

$$\begin{align}&a_n=n+\frac{-1^n}{n-(-1)^n}\\ &\\ &\\ &\\ &a_n=\frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n}\end{align}$$

La expresión 1 es la que has escrito realmente, la que interpretaría un ordenador o calculadora. Pero yo creo que querías poner la segunda, que se tendría que haber escrito así:

a sub(n) = [n+(-1)^n] / [ n - (-1)^n]

En todo caso, la primera expresión no converge ya que el límite es

$$\infty + \frac{\pm 1}{\infty \pm 1}=\infty+0=\infty$$

Y la segunda si que converge

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n}=\\ &\\ &\text{Dividimos numerador y denominador entre n}\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{(-1)^n}{n}}{1-\frac{(-1)^n}{n}}=\frac{1+0}{1-0}=1\end{align}$$

Luego la creo que querías decir converge a 1.

Y eso es todo.