Demostrar que det (nA) elevado a la -1es igual a 1/ n elevado a la n por det (A)
Demostrar que det (nA) elevado a la -1es igual a 1/ n elevado a la n por det (A).
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Partimos de esto
|AB| = |A|·|B|
Luego
|A||A^-1| = |A·A^-1| = |Id| = 1
|A^-1| = 1 / |A|
Si en vez de A ponemos nA será
|(nA)^-1| = 1/|nA|
Y ahora usamos que si multiplicamos una fila por una constante k el determinante queda multiplicado por esa constante k. Luego si multiplicamos n filas por esa constante se multiplicara por esa constante n veces. Por k^n. Como la constante por la que multiplicamos es n tendremos
|nA| = (n^n)|A|
Luego el resultado es
|(nA)^-1| = 1/(n^n·|A|)
