Conversión de coordenadas

Lo bueno de la programación es que enseña a decir las cosas muy claras. A un ordenador no le puedes meter expresiones dudosas porque es tonto y hará lo que no querías. Una de las cosas buenas que tienen los lenguajes de programación, al menos los que yo he usado, es que los argumentos de una función van entre paréntesis, eso evita miles de confusiones y es una práctica que no debería descuidarse en la escritura de expresiones. Entonces la forma correcta de las raíces cuadradas es

Sqrt(x)

Aquello de lo que vamos a calcular la raíz siempre entre paréntesis. Porque si tu escribes

sqrt3/2

no sabemos si quieres decir

sqrt(3/2)

o

sqrt(3)/2

Que son cosas muy distintas.

Yo supongo que quieres decir lo segundo, pero es conveniente no dejar nada al azar y poner los paréntesis correctamente.

Vamos ya con el ejercicio. Para dar el punto en coordenadas polar hay que dar el módulo y el ángulo. No se que notación estaréis usando, eso lo dejo a tu elección. El módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. El ángulo es el arcotangente de y/x pero vigilando en que cuadrante está el punto

a) (sqrt(3), 1)

módulo = sqrt(3+1) = 2

ángulo = arctg(1/sqrt(3))

Se podría ir a la calculadora, pero lo haremos sin ella.

Fíjate en el ángulo 30º, su tangente es

tg30º = sen30º/cos30º = (1/2) / (sqrt(3)/2) = 1/sqrt(3)

Luego hemos dado con el ángulo cuya tangente es lo que nos piden

Y ahora veamos que el puntom está en los 30º. Si, lo está porque tiene positiva la x y la y con lo cual está en el primer cuadrante. Luego las coordenadas polares son

(2, 30º)

o

(2, Pi/6)

o el 2 con subíndice 30º o Pi/6 que se suele representar

$$\begin{align}&2_{30º}\\ &\\ &2_{\frac{\pi}{6}}\end{align}$$

b) Supongo que (3sqrt(3)/2, 3sqrt(3)/2)

Modulo = sqrt(9·3/4 + 9·3/4) = sqrt(54/4) =

El 54 en factores primos es 2·3^3, podemos sacar un 3^2 fuera que quedará en un 3. Y el denominador también puede salir fuera

= 3sqrt(6) / 2

o puesto de otra forma

(3/2)sqrt(6)

Y el ángulo es el arcotangente de la x/y. Como la x e y son iguales es el arcotangente de 1. Y el ángulo cuya tangente es 1 es 45º. Y como (x.y) Está en el primer cuadarante es ese el ángulo. Luego las coordenadas son

((3/2)sqrt(6), 45º)

o

((3/2)sqrt(6), Pi/4

o eso mismo con subíndices.

c) (0,2)

El modulo está claro que vale 2

El ángulo es el arctg(2/0) eso nos daría un error, luego la fórmula sirva siempre que x sea distinto de cero. Cuando x=0 el punto está en el eje Y y entonces si es positivo serán 90º y si es negativo serán 270º. Luego en este caso las coordenadas son

(0, 90º)

o

(0, Pi/2)

d) (-sqrt(3)/2, 1/2)

El módulo se calcula como siempre,

sqrt(3/4 + 1/4) = sqrt(4/4) = 1

Y con el ángulo vamos a tener fiesta si no pensamos

arctg[-(1/2) / (sqrt(3)/2] = arctg[-1/sqrt(3)] = -30º

Eso es lo que me dio la calculadora. -30º o 330º si queremos ponerlo en positivo.

Pero ese es un ángulo del 4º cuadrante, y nuestro punto está en el segundo, allí donde la

X es negativa pero la y positiva.

Esto sucede porque para cada valor de la tangente hay dos ángulos que tienen esa tangente y la calculadora te da el que vale entre -90º y 90º, nunca da el que vale entre 90º y 270º. La regla es que el ángulo con la misma tangente se diferencia en 180º. Asi que el que nos sirve para este caso es

-30º+180º = 150º

U otra forma de verlo es acudir directamente al angulo con coseno -sqrt(3/2) que es 150º o 210º y con seno 1/2 y se descarta el segundo quedando 150º.

Todo esto se entiende practicando un poco.