Ayudenme la siguiente integral... (INTEGRAL IMPROPIA)... Daré puntos gracias
este es el ejercicio:
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{x}{1+x^4} \mathrm{d}x$$gracias
un saludo
1 Respuesta
Lo menos conflictivo de esta integral es que sea impropia, lo conflictivo es que es bastante difícil de resolver. Asi que nos vamos a centrar en calcular la función primitiva y tiempo habrá después para evaluar el límite que nos de el resultado.
Hay que descomponer x^4+1 en factores. Hay dos formas.
1) Sabiendo que en R los factores son de grado 1 o dos y puesto que el el coeficiente de x^4 es 1 podemos poner
x^4+1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) =
x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 +bcx + bd=
x^4 + (c+a)x^3 + (d+ac+b)x^2 + (ad+bc)x + bd
igualando los monomios tenemos estas 4 ecuaciones
1) c+a = 0
2) d+ac+b = 0
3) ad+bc = 0
4) bd = 1
de la primera se deduce
c=-a
vamos a la tercera con ello
ad-ab = 0 ==> a(d-b) = 0
Si a = 0 entonces c=0 y debe cumplirse
d+b = 0 ==> d=-b
bd = 1 ==> b(-b) = 1 ==> -b^2 = 1
y los coeficientes no serían reales luego a no puede ser 0 y tiene que er
d-b=0
d=b
y en la cuarta
bd=1
b^2 = 1
b = +-1
con lo cual la segunda queda
d - a^2 + b = 0
2b - a^2 = 0
y debe ser b=1 para que pueda haber respuesta
2 - a^2 = 0
a = +- sqrt(2)
c = -+ sqrt(2)
Resumiendo
x^4 - 1 = (x^2 + sqrt(2)x +1) (x^2 - sqrt(2)x + 1)
Uff, deja que respire un poco, te mando esto por adelantado y luego continúo.
Y la otra forma de factorizarlo es calculando las raíces. Las raíces son las 4 raíces cuartas de -1. Para calcularlas se expresa en forma polar el número -1 que tendrá
módulo = 1
ángulo = 180º
La primera raíz cuarta es el número
módulo = 1
ángulo = 180º/ 4 = 45º
que es el número complejo cos(45º) + i·sen(45º)
[sqrt(2)/2] (1+i)
Y las otras tres raíces se obtienen sumando 90º cada vez al ángulo anterior y son estas
[sqrt(2)/2](-1+i)
[sqrt(2)/2](-1-i)
[sqrt(2)/2](-1-i)
A la hora de hacer los productos los agrupamos por raíces conjugadas
$$\begin{align}&x^4+1 = \left(x-\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)\right)·\left(x-\frac{\sqrt 2}{2}(1-i)\right)·\\ &\\ &\\ &\left(x-\frac{\sqrt 2}{2}(-1+i)\right)·\left(x-\frac{\sqrt 2}{2}(-1-i)\right)=\\ &\\ &\\ &\left[\left(x-\frac{\sqrt 2}{2} \right)^2+\frac 12 \right]·\left[\left(x+\frac{\sqrt 2}{2} \right)^2+\frac 12 \right]=\\ &\\ &\\ &(x^2-\sqrt 2 x+1)(x^2+\sqrt 2 x+1)\end{align}$$Y aun habiéndome saltado varios pasos ya ves la cantidad de escritura que hay.
Y la descomposición en fracciones simples de esta función racional es
$$\begin{align}&\frac{x}{x^4+1}= \frac{ax+b}{x^2+\sqrt 2 x +1}+\frac{cx+d}{x^2-\sqrt 2 x+1}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{ax^3-\sqrt 2 ax^2+ax+bx^2-\sqrt 2 b x+b+cx^3+\sqrt 2cx^2+cx+dx^2+\sqrt 2dx+d}{x^4+1}\\ &\\ &\text {y resumiendo se obtienen estas 4cecuaciones}\\ &\\ &a+c=0 \implies c=-a\\ &-\sqrt 2a+b+\sqrt 2c + d =0\\ &a -\sqrt 2 b+c +\sqrt 2d = 1\\ &b+d=0\implies d=-b\\ &\\ &\text {sustituimos valores}\\ &-\sqrt 2a + b -\sqrt 2a-b=0\implies a=0, c=0\\ &-\sqrt 2b-\sqrt 2 b = 1\\ &b=-\frac{1}{2 \sqrt 2}=-\frac{\sqrt 2}{4}\\ &\\ &d=\frac{\sqrt 2}{4}\\ &\\ &\\ &\\ &\int \frac{x}{x^4+1}=-\frac{\sqrt 2}{4}\int \frac{dx}{x^2+\sqrt 2x+1}+ \frac{\sqrt 2}{4}\int \frac{dx}{x^2-\sqrt 2x-1}\end{align}$$OLVIDA todo lo que he hecho hasta ahora, en la siguiente entrega te lo resuelvo bien desde el principio. Es una integral bien fácil, no se como me he podido liar tanto.
Espera un poco.
$$\begin{align}&\int \frac{x}{1+x^4} \mathrm{d}x\\ &\\ &t=x^2 \implies dt=2x\,dx\\ &\\ &=\frac 12\int \frac{dt}{1+t^2}=\\ &\\ &\frac 12 arctg(t)= \frac 12 arctg(x^2)\\ &\\ &\\ &I=\lim_{K\to\infty}\frac 12arctg[K^2]-\frac 12arctg[(-K)^2]=\\ &\\ &\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}= 0\\ &\end{align}$$Y del árbol caído tod es hacer leña. De principio se podía saber que es 0 porque la función del integrando es impar f(-x) =-f(x)
Con lo cual tiene simetría central. Y las funciones con simetría central integradas entre -K y K dan 0 ya que son exactamente iguales antes del 0 y después solo que con dos reflexiones que no alteran el valor absoluto del área pero hacen que a una parte tenga el signo contrario que en la otra.
¡Bueno, menudo lío me hice! Es que no contaba con que fuera a ser tan fácil y automáticamente pensé que se haría por descomposición en fracciones simples.
Y eso es todo.
