Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta.

Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta.

y^3dx+2(x^3-xy^2)dy = 0

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No sé de dónde ha salido que esta ecuación diferencial es exacta

3y^2 <> 6x^2 - 2y^2

No se parecen en nada.

Si acaso se puede resolver como homogénea.

ok, como homogénea esta bien

Saludos

Comprobamos que es homogénea, para ello ponemos la ecuación en la forma

dy/dx = f(x,y)

y debe cumplirse

f(kx, ky) = f(x,y) para k € R

y^3dx+2(x^3-xy^2)dy = 0

2(x^3-xy^2)dy = -y^3 dx

dy/dx = - y^3 / [2(x^3-xy^2)]

f(kx, ky) = - k^3·y^3 / [2(k^3·x^3 - kxk^2·y^2)] = - y^3 / [2(x^3-xy^2)] = f(x,y)

A lo mejor no es necesaria tanta demostración, si vemos que va a salir una función racional

En la que todos los términos tienen el mismo grado sumando el exponente de la x y de la y, y que tiene términos de estos tanto en el numerador con en el denominador ya sabemos que será homogénea.

Y las ecuaciones diferenciales homogéneas se resuelven con el cambio

y = ux

de donde

dy/dx = (du/dx)x + u

Aplicando el cambio a nuestra ecuación queda

(du/dx)x + u = - u^3·x^3 / 2[(x^3 - x·u^2·x^2)]

(du/dx)x + u = - u^3 / [2(1 -u^2)]

du/dx = -u^3/[2(1-u^2)] -u = (-u^3 -2u+2u^3) / [2(1-u^2)] = (u^3-2u) / [2(1-u^2)]

[2(1-u^2) / (u^3-2u)]du = -dx

Y esta integral no es inmediata ni mucho menos

$$\begin{align}&I = \int \frac{2-2u^2}{u^3-2u}du \\ &\\ &\frac{2-2u^2}{u^3-2u}=\frac{a}{u}+\frac{bu+c}{u^2- 2}\\ &\\ &2 - 2u^2 = au^2-2a+bu^2+cu\\ &u=0\implies2=-2a\implies a=-1\\ &u=1 \implies 0=-a+b+c\implies b+c=-1\\ &u=-1 \implies 0= -a+b-c\implies b-c=-1\\ &\\ &2b=-2\\ &b=-1\\ &c=0\\ &\\ &I=-\int \frac{du}{u}-\int \frac{u}{u^2-2}du =\\ &\\ &-ln\,u- \frac 12ln(u^2-2)+C\\ &\\ &\text{la solución es}\\ &\\ &-ln\,u- \frac 12ln(u^2-2)+C = -x\\ &\\ &ln\,u+ \frac 12ln(u^2-2)+C = x\\ &\\ &\text{Y deshacemos el cambio}\\ &\\ &ln \left(\frac yx\right)+\frac 12ln\left(\frac{y^2}{x^2}-2  \right)+ C = x\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.

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