Ejercicio calculo vectorial

Si, es el mismo problema con el que me atasque la otra vez. En vez de la letra griega theta yo usaré la letra t como parámetro.

Entonces el centro de la circunferencia pequeña describe una circunferencia de radio a-b. Es decir, para un ángulo t las coordenadas del centro de la circunferencia pequeña son

x = (a-b)cost

y = (a-b)sent

El espacio s que ha recorrido la circunferencia pequeña se puede calcular de dos formas

a) El ángulo t en radianes por el radio de la circunferencia grande s=at

b) El angulo r en radianes que forma el punto que pinta con el punto que ahora es tangencial a la circunferencia grande multiplicado por el radio de la circunferencia b. esto es s=br

Luego tenemos

br = at

r = at/b

Este ángulo r lo forma con la recta que une los centros. Eso es lo que me confundió la otra vez, que pensaba que lo formaba con el eje X. Pero no, lo forma con la recta que tiene pendiente t.

Además el angulo r va en sentido contrario, si recorremos t en sentido positivo r lo hace en sentido negativo. Luego la verdadera relación sería

r =-at/b

Entonces el ángulo absoluto que forma el punto que pinta respecto del eje X es el angulo t más el ángulo relativo r respecto a t.

Y ese ángulo es

t + (-at/b) = (bt-at) / b = t(b-a)/b

Sabiendo ya el ángulo absoluto sumaremos al punto del centro de la pequeña la combinación adecuada del seno y coseno para que nos de el punto que pinta

x = (a-b)cost + bcos[t(b-a)/b]

y = (a-b)sent + bsen[t(b-a)/b]

Como b-a es negativo vamos a poner a-b para que quede más bonito, recuerda que el coseno del ángulo es el mismo pero el seno cambia de signo, con ello queda

x = (a-b)cost + bcos[t(a-b)/b]
y = (a-b)sent - bsen[t(a-b)/b]

Y ahora voy a probar a hacer la gráfica con a=4 y b=1

¡PERFECTO! Está vez sí ha salido bien. Esa es la ecuación paramétrica del hipocicloide mas digna y mejor explicada que en la Wikipedia.

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Sustituimos el valor b=a/4 y veamos que nos queda

x = (a-a/4)cost + (a/4)cos[t(a-a/4)/(a/4)] =

(3a/4)cost + (a/4)cos[t(3a/4)/(a/4)] =

(3a/4)cost + (a/4)cos[t(12a)/(4a)] =

(3a/4)cost + (a/4)cos(3t) =

(3a/4)cost + (a/4)[cos(2t)cost - sen(2t)sent] =

(3a/4)cost + (a/4)([cos^2(t)-sen^2(t)]cost - 2sent·cost·sent) =

(3a/4)cost + (a/4) [cos^3(t) -sen^2(t)·cost - 2sen^2(t)·cost] =

(3a/4)cost + (a/4) [cos^3(t) - 3sen^2(t)·cost] =

(3a/4)cost[1-sen^2(t)] + (a/4)cos^3(t) =

(3a/4)cost[cos^2(t)] + (a/4)cos^3(t) =

(3a/4)cos^3(t) + (a/4)cos^3(t)=

a·cos^3(t)

Bueno después de todo el periplo tenemos

x = a·cos^3(t)

Y ahora obraremos parecido con la y

y = (a-a/4)sent - (a/4)sen[t(a-a/4)/(a/4)] =

(3a/4)sent - (a/4)sen[t(3a/4)/(a/4)] =

(3a/4)sent - (a/4)sen[t(12a)/(4a)] =
(3a/4)sent - (a/4)sen(3t) =

(3a/4)sent - (a/4)[sen(2t)cost +cos(2t)sent] =

(3a/4)sent - (a/4)(2sent·cost·cost + [cos^2(t)-sen^2(t)]sent) =

(3a/4)sent - (a/4)[2sent·cos^2(t) + cos^2(t)·sent - sen^3(t)] =

(3a/4)sent - (a/4) [3sent·cos^2(t) - sen^3(t)] =

(3a/4)sent[1-cos^2(t)] + (a/4)sen^3(t) =

(3a/4)sent·sen^2(t) + (a/4)sen^3(t) =

(3a/4)sen^3(t) + (a/4)sen^3(t) =

a·Sen^3(t)

Luego

y = a·sen^3(t)

Luego ya está demostrado todo.