Convertir de coordenadas cartesianas a polares

Aquí tendría que ver yo un poco que es lo que estás estudiando. Porque son temas mezclados. Problemas de este tipo corresponden más bien al capítulo de circunferencias y cónicas qu al de coordenadas polares. Necesitaría ver como se están resolviendo los problemas en el libro.

Pero la solución es esta. Es un polinomio de grado 2 en dos variables y eso son las cónicas. Si los coeficientes de x^2 e y^2 tienen el mismo signo son elipses, si tienen signo distinto son hipérbolas, si existe uno y el otro no son parábolas.

En nuestro caso son elipses porque tenemos x^2 e y^2 con el mismo signo.

Y dentro de las elipses, si el coeficiente de x^2 e y^2 es el mismo se trata de una circunferencia. Luego tenemos una circunferencia. Podemos calcular el centro y radio si ponemos la ecuación en forma canónica, el método se llama de completar cuadrados

x^2+3x = (x + 3/2)^2 - 9/4

y^2-4y = (y -2)^2 -4

Con esas sustituciones la ecuación sería

(x+ 3/2)^2 - 9/4 + (y-2)^2 - 4 + 2 = 25

(x+ 3/2)^2 + (y-2)^2 = 25 + 4 - 2 + 9/4 = 27 + 9/4 = 117/4

(x+ 3/2)^2 + (y-2)^2 = 117/4

Y el centro será (-3/2, 2)

Y el radio sqrt(117) / 2

Y eso es todo.