Considere en R3 los puntos A= (1,2,0), B= (1,0,1), C= (0,1,1) y D= (2,2,2).
Me interesa solo la pregunta C, pero las otras son necesarias para resolverlas, eso creo!
a) Determine la ecuación del plano P que contiene a los puntos A, B y C.
b) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el punto D y que es perpendicular al plano P.
c) Determine el punto en el plano P más cercano al punto D.
1 respuesta
Ya te contesté a esta pregunta usando las ecuaciones paramétricas de plano y recta para hallar la intersección. Por variar un poco lo haremos usando las ecuaciones generales, aunque es más largo.
La ecuación del plano se puede obtener como un determinante:
$$\begin{vmatrix}
x-1&y-2&z-0\\
1-1&0-2&1-0\\
0-1&1-2&1-0
\end {vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x-1&y-2&z\\
0&2&1\\
-1&-1&1
\end {vmatrix}=
\\
2x-2-y+2+2z+x-1=0
\\
plano: \;3x-y+2z=1$$El vector de la recta perpendicular se obtiene obtiene haciendo el producto vaectorial de los vectores AB y AC
AB=(1,0,1)-(1,2,0) = (0,-2,1)
AC=(0,1,1)-(1,2,0) = (-1,-1,1)
$$\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
0&-2&1\\
-1&-1&1
\end{vmatrix}=-\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}$$Ese vector en notación de coordenadas es (-1,-1,-2)
Y la ecuación de la recta que pasa por D y tiene ese vector director es:
$$\begin{align}&\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{-2}\\ &\\ &x-2=y-2\implies x-y=0\\ &2x-2=z-2\implies 2x-z=4\end{align}$$Y ahora resolvemos el sistema de ecuaciones:
3x - y + 2z = 1
x - y = 0
2x - z = 4
A la primera le restamos la segunda y la tercera
3z = -3
z=-1
despejamos x en la tercera
2x+1 = 4
2x = 3
x=3/2
Y y en la segunda
y=3/2
El punto es (3/2, 3/2, -1)
Comparando veo que me equivoqué en la otra respuesta porque calculé mal el producto vectorial por un lío de signos. Ahora la corregiré.
¡Espera que me equivoqué aquí también, vaya día! Y además nada más empezar, al hacer la segunda resta.
$$\begin{vmatrix}
x-1&y-2&z-0\\
1-1&0-2&1-0\\
0-1&1-2&1-0 \end {vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x-1&y-2&z
\\ 0&-2&1
\\ -1&-1&1
\end {vmatrix}=
\\
-2x+2-y+2-2z+x-1=0 \\ -x-y-2z=-3
\\
plano;x+y+2z=3$$También me equivoqué al calcular la ecuación de la perpendicular
La segunda ecuación de esa recta era
2x - 4 = z - 2 ==>
2x - z = 2
Y ahora resolvemos el sistema de ecuaciones:
x + y + 2z = 3
x - y = 0
2x - z = 2
Sumamos primera y segunda
2x+2z= 3
Y la restamos a la tercera
-3z = -1
z=1/3
2x-z=2
2x-1/3 = 2
2x = 7/3
x= 7/6
y=7/6
El punto es (7/6, 7/6, 1/3)
Comprobaremos que la distancia de este al punto (2,2,2) es la misma que la distancia del plano al punto (2,2,2)
[d(punto,punto)]^2 = (5/6)^2+(5/6)^2 +(5/3)^2 = 25/36 + 25/36 + 25/9 = (25+25+100)/36 = 150/36 = 25/6
[d(punto,plano)]^2 = (2 + 2 + 4 - 3)^2 / [1^2 + 1^2 + 2^2]= 25/6
Y por fin creo que está ya bien hecho. Cuando se te atraviesa un problema te puedes morir hasta resolverlo.
