Planos en R3

Respuesta de
dark_man_sp
a
Usuario
Hola!

Tengo estos problemas de álgebra

1)si H:x+y-2z=2, hallar

a) Un vector N, normal a H
b) dos puntos distintos de H
c) un plano H1 paralelo a H que pase por el origen
d) un plano H2 paralelo a H que pase por p= (1,1,-2)

Gracias!
Experto

Hola ferlop:

1) x+y-2z=2 <=> z = (x+y-2)/2

a) Para x=0, y=0 => z=-1 => punto (0,0,-1)
Para x=2, y=0 => z=0 => punto (2,0,0)
Para x=0, y=2 => z=0 => punto (0,2,0)

Restamos los dos últimos al primero y obtenemos dos vectores directores del plano:

(2,0,0)-(0,0,-1)=(2,0,1)
(0,2,0)-(0,0,-1)=(0,2,1)

Hacemos que el vector buscado (a,b,c) sea perpendicular a estos dos:

(2,0,1)(a,b,c)=0 => 2a+c=0
(0,2,1)(a,b,c)=0 => 2b+c=0

Haciendo a=1 => c=-2a=-2, b=1

Luego (1,1,-2) es un vector (libre) perpendicular al plano dado

b) Los de antes
c) Se utilizan los vectores directores de antes y se elige el origen como punto de situación.

Todos los puntos P del plano buscado son de la forma, donde u y v son reales cualesquiera:

P = (0,0,0) + u(2,0,1) + v(0,2,1)

Luego, si P=(x,y,z):

x = 2u
y = 2v
z = u + v

Si queremos ponerlo en forma Ax+By+Cy=D, entonces como pasa por el origen ==> D=0
Ahora, para u=1,v=0 => 2A+C=0
y para u=0, v=1 => 2B+C=0

Haciendo A=2 => C=-2 => B=1

Luego H1: 2x+y-2z=0 es el plano buscado.

d)Para H2 hacemos lo mismo:

P = (1,1,-2) + u(2,0,1) + v(0,2,1)

x = 2u + 1
y = 2v + 1
z = u + v - 2

Para u=0, v=0 => A+B-2C=D
Para u=-1/2, v=0 => B-(5/2)C=D => 2B-5C=2D
Para u=0, v=-1/2 => A-(5/2)C=D=> 2A-5C=2D

Haciendo D=1 ==>
A+B-2C=1
2B-5C=2
2A-5C=2
==> (restando las 2 últimas) => 2B-2A=0 => A=B => 2A-2C=1 y 2A-5C=2, restándo => -2C+5C=-1 => C=-1/3 => A =B=(1+2C)/2 = 1/6

Luego la ecuación es (1/6)x+(1/6)y-(1/3)z=1, que multiplicando todo por 6 queda:

H2: x+y-2z=6

Un saludo.
DM
Usuario
Muchas gracias por tu respuesta!
Me fue de mucha utilidad!
Saludos
fernan