¿Problemas de aplicación de la derivada (máximo y/o mínimo)... AYUDA POR FAVOR!?
No puedo resolver el siguiente ejercicio el cual se trata de : máximo y/o mínimo
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1) Máximo y/o mínimo
Se necesita construir un deposito de forma paralelepípedo recto de 500 m^3 con base cuadrada y sin tapa. Determinar las dimensiones del dispositivo para que su costo de producción sea mínimo.
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de ante manos muchas gracias
Se supone que el costo de producción será mínimo cuanto menos material se use, o sea, cuando la superficie del paralelepípedo (sin tapa) sea mínima. Por lo tanto lo que hay que minimizar es esa superficie
El paralelepípedo tiene base cuadrada, llamémosla b y una altura h
La superficie es el área de la base mas cuatro paredes laterales
S(b,h) = b^2 + 4bh
Debemos poner la función superficie en función de una sola variable (a no ser que estemos en carrera con funciones de varias variables). Y eso lo podemos conseguir por el dato sobre el volumen que nos dan
V = b^2·h = 500
Lo más fácil es despejar h
h = 500 / b^2
y sustituimos ese valor en la fórmula de la superficie
S(b) = b^2 + 4b(500/b^2) = b^2 + 2000 / b
Y ahora derivamos respecto a b e igualamos a 0 para obtener el mínimo
S'(b) = 2b - 2000 / b^2 = 0
(2b^3-2000) / b^2 = 0
Como b=0 no puede ser, ya que el volumen no podría ser 500, podemos multiplicar por b^2 en los dos lados y queda
2b^3 - 2000 =0
2b^3 = 2000
b^3 = 1000
b = 10
Luego el lado de la base cuadrada es 10 m
Y la altura será
h = 500 / 10^2 = 500 / 100 = 5 m
Luego las dimensiones son
Lado de la base cuadrada 10m y altura del paralelepípedo 5m.
