¿Existela cuarta derivada?

Existe la derivada si es la misma por la izquierda y la derecha

fi'(x) = -5x^4

fi'(0) = -5·0^4 = -5·0 = 0

fd'(x) = 5x^4

fd'(0) = 0

Luego existe la derivada primera y vale 0

Para la derivada segunda se hace los mismo, obtendremos -20x^3 y 20x^3 cuyo valor coincide para x= 0 y es 0

Y la derivada tercer lo mismo con -60x^2 y 60x^2, existe y es 0

Con ello queda mostrado lo que pedían de

f '(0) = f ''(0) = f '''(0) = 0

Y con la derivada cuarta no hay problema, por la izquierda será -120x y por la derecha 120x con lo cual f^4(x) = 0

Creo que se han confundido con el enunciado, seguramente querían preguntar si existía la derivada quinta. Esa es la que no existe porque la derivada por la izquierda es -120 y la derivada por la derecha es 120.

Y eso es todo.