Demostrar que 1/ raíz de(1) + 1/ raíz de(2) + ...+ 1/raíz de(n) es mayor que la raíz de(n)

Comprobamos que se cumple para n=2

1+ 1/sqrt(2) = [sqrt(2)+1] / sqrt(2) > 2 / sqrt(2) = sqrt(2)

Supongamos que se cumple para n

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt i}\gt \sqrt n\\ &\\ &\\ &\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt i}\gt \sqrt n + \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\sqrt n \sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}}\gt \frac{\sqrt {n} \sqrt{n}+1}{\sqrt{n+1}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{n+1}{\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}\end{align}$$

Luego queda demostrada la inducción.

Y eso es todo.