El cuadrado de ningún número racional es 15

Estaba demostrando este enunciado por reducción al absurdo pero me atoré y ya no se como terminarlo,

Supuse que existe x€Q : x^2=15-->

x=m/n

m^2/n^2=15

m=nv15

Pero se que como x€Q implica que mcd(m,n)=1

Y hasta ahí me quedé. Ojalá puedas ayudarme

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1

Supongamos que existe x€Q : x^2=15

x=m/n

Podemos tomar m y n divididos por su máximo común divisor de modo que m y n sean primos entre sí.

m^2 / n^2 = 15

m^2 = 15 n^2

m^2 es múltiplo de 3, pero al ser cuadrado es múltiplo de 3^2 y por lo tanto m es múltiplo de 3

m^2 = 9k^2 = 15n^2

dividiendo entre 3

3k^2 = 5n^2

Y ahora tenemos que n^2 es múltiplo de 3, pero como es un cuadrado es múltiplo 3^2 y n es múltiplo de 3

Y hemos llegado a la conclusión de que m y n son múltiplos de 3. Pero eso es absurdo, porque entonces no son primos entre si y la hipótesis era que lo eran.

Luego no puede darse el caso de que existe x€Q tal que x^2=15.

Y eso es todo.

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