Problema de calculo
Problema: Una partícula se mueve sobre la curva C, que es intersección de la superficie cilíndrica x^2 + y^2=9 con el plano z+y=3. En el punto P:(3,0,3) sale despedida en dirección de la recta tangente a la curva y con la misma rapidez con que abandona C.
¿choca la partícula con el plano 6x+z=6?¿en que punto?
Mi pregunta es como resolver este tipo de problema, los temas de matemática son el calculo, uso de derivadas direccionales y el que sepa se sabrá hacer una idea. Ademas no entiendo cuando dice que sale con la misma rapidez conque abandona la curva C, que es lo que trata de decirme, si alguien me lo dice en criollo me vendría muy bien. Gracias
1 respuesta
Pues mo quiere decir mas que eso, que en el momento que sale de la curva llevaba una velocidad y que por salir de la curva no la aumenta ni disminuye. Esa velocidad no podemos saberla porque no nos dan datos para conocerla. Tendríamos que saber la trayectoria en cada instante para poder calcular la velocidad y la aceleración, pero solo nos dan la trayectoria. De todas formas el dato de la velocidad no es necesario para lo que nos preguntan porque tampoco nos preguntan dentro de cuanto tiempo chocará con el plano 6x+z=6. Así que no te preocupes más por la expresión esa.
La trayectoria será la intersección de las dos superficies, el plano y el cilindro, ya sabemos que eso puede ser nada, una recta, dos rectas o un elipse. En este caso va a ser una elipse.
Para hallar la ecuación paramétrica de la curva vamos a tomar directamente a z como parámetro. Y despejando en las ecuaciones tendremos:
$$\begin{align}&z=z\\ &\\ &y=3-z\\ &\\ &x=\sqrt{9-y^2}=\sqrt{9-(3-z)^2}=\sqrt{9-9+6z-z^2}=\sqrt{6z-z^2}\end{align}$$Ahora la dirección tangente a la curva en un punto nos la dará la derivada de la curva en ese punto respecto al parámetro
$$\begin{align}&x´= \frac{6-2z}{2 \sqrt{6z-z^2}}\\ &\\ &y´ = -1\\ &\\ &z´= 1\\ &\\ &\\ &\text{Y en el punto (3,0,3), z = 3 luego será}\\ &\\ &x´=\frac{6-6}{2 \sqrt{18-9}}=0\\ &y´=-1\\ &z=1\end{align}$$Luego la partícula sale en la dirección del vector (0,-1,1) desde el punto (3,0,3)
La ecuación paramétrica de los puntos de la semirrecta que describe será:
x=3
y=-t
z=3+t
Para t>0
Solo falta ver si algún punto de esos pertenece al plano 6x+z = 6
18 + 3+ t = 0
t =-21
Bueno, pues ahora veo que el problema no está bien definido porque no nos dicen tampoco el sentido de la trayectoria.
Si la trayectoria (desde z=0 hasta 6) es el sentido de las agujas del reloj (que es la parametrización que yo di a la elipse) no choca. Si la trayectoria tiene sentido contrario choca.
Luego tienen que decirnos el sentido de giro de la partícula para poder asegurar la respuesta.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si necesitas alguna aclaración o consigues el enunciado completo mándame la pregunta de nuevo, en otro caso no olvides puntuar.
