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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}&\left(1+\frac{e^y}{x} \right)dx +(-x-3e^y)dy=0\\ &\\ &M_y=\frac {e^y}{x}\quad\quad Nx = -1\\ &\\ &M_y-N_x = \frac{e^y}{x}+1\\ &\\ &\frac{M_y-N_x}{M}=1\\ &\\ &\mu(y)=e^{-\int dy}= e^{-y}\\ &\\ &\text{multiplicando por el factor integrante}\\ &\\ &\left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx + (-xe^{-y}-3)dy=0\\ &\\ &M_y=-e^{-y}\\ &\\ &N_x=-e^{-y}\end{align}$$Vale, ahora es una diferencial exacta. Pero por hoy no tengo más tiempo para seguir, ya la terminaré mañana si acaso.
Gracias experto valeroasm, esta es de la misma forma que el ejercicio 1 como no son exactas se hace con factor integrante, ojala y en cuanto puedas lo puedas terminar, te agradezco mucho tu apoyo, saludos cordiales.
Para resolverla primero se integra M respecto de x o N respecto de y, haremos lo primero y pondremos como constante de integración toda una función de y, ya que su derivada respecto de x sería 0
$$\begin{align}&u(x,y)=\int Mdx=\int \left(e^{-y}+\frac 1x \right)dx=\\ &\\ &xe^{-y}+ lnx + \varphi(y)\\ &\\ &\text{La derivada parcial de u respecto de y es N}\\ &\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=N\\ &\\ &-xe^{-y} + \varphi'(y) = -xe^{-y}-3\\ &\\ &\varphi'(y) = -3\\ &\\ &\text{calculamos }\varphi(y) \text{ integrando respecto de y}\\ &\\ &\varphi(y) = -3y\\ &\\ &\text{Y la respuesta es u(x,y)=C luego}\\ &\\ &xe^{-y}+ lnx - 3y = C\\ &\end{align}$$
