Aplicaciones de la derivada II

p(-1) = 24

a(-1)^3 +b(-1)^2+c(-1)+d = 24

-a + b - c + d =24

Tiene 2 como raíz significa que p(2)=0

8a+4b+2c+d = 0

Los mínimos o máximos serán puntos donde se anula la derivada

3ax^2 + 2bx + c = 0

Luego 3a + 2b + c = 0

Aparte de decirnos que en x=1 hay un mínimo nos dicen que el mínimo es (1,0) luego

P(1)=0

a+b+c+d = 0

Resumiendo, se cumplen estas 4 ecuaciones

-a + b - c + d =24

8a + 4b + 2c + d = 0

3a + 2b + c = 0

a + b + c + d = 0

¿Habéis resuelto alguna vez ecuaciones semejantes a estas?

Es que sin usar matrices, que no sé si las habéis dado ya, es muy difícil resolverla.

Ya me dirás.

Pues no he dado matrices y no hemos hecho ningún ejercicio de este tipo, estos son los primeros por eso no tengo ni idea, pero en la ficha que nos ha dado pone la solución y dice que es: -2x^3+8x^2-10x+4

Espero que sirva de algo...

Si, he verificado que esa es la solución. Pero es que no veo de recibo que os manden semejante ejercicio para el curso que lleváis. Nos lo ponían a nosotros estudiando la carrera y nos echaríamos para atrás.

a + b + c + d = 0

-a + b - c + d =24
8a + 4b + 2c + d = 0
3a + 2b + c = 0

A la segunda le sumamos la primera

2b+2d=24

A la tercera le sumamos la primera multiplicada por -8

-4b-6c-7d =0

A la cuarta le sumamos la primera multiplicada por -3

- b - 2c - 3d = 0

Las ponemos de nuevo cambiando alguna de orden

a + b + c + d = 0

- b - 2c - 3d = 0

2b+2d=24

-4b-6c-7d =0

A la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 2

-4c-4d=24

A la cuarta le sumamos la segunda multiplicada por -4

2c+5d=0

Las vuelvo a poner y cambio el orden de alguna

a + b + c + d = 0
- b - 2c - 3d = 0

2c+5d=0

-4c-4d=24

Y ahora a la cuarta le sumo la tercera multiplicada por 2

6d = 24

d=4

Ahora con este valor vamos a la tercera

2c+5·4 = 0

2c=-20

c=-10

Con los valores de c y d vamos a la segunda

-b -2(-10)-3·4 = 0

-b + 20-12 = 0

-b=-8

b = 8

Y finalmente con los valores de b,c,d vamos a la primera

a +8 -10 + 4= 0

a+2=0

a=-2

Luego ya están calculadas. He usado el método de las matrices pero sin matrices, con ellas habría sido más claro todo.

Y ya calculados los coeficientes nos queda el polinomio que era

ax^3+bx^2+cx+d=

-2x^3 + 8x^2 - 10x + 4 = 0

Y eso es todo.